DAERAH INTEGRAL

PEMBAGI NOL

Definisi:

Misalkan R suatu ring (gelanggang) dan maka

• a disebut elemen pembagi nol kiri jika sehingga ab = 0

 

• a disebut elemen pembagi nol kanan jika sehingga ba = 0

jadi dapat disimpulkan, pembagi nol adalah jika pada suatu ring R, dan sehingga ab = ba= 0

 

a disebut elemen bukan pembagi nol jika atau

apabila R mempunyai elemen satuan e, maka e bukan pembagi nol, karena

 

Teorema:

Jika a dan b bukan pembagi nol ring R maka ab bukan pembagi nol.

Bukti:

Diberikan a dan b bukan pembagi nol. Akan dibuktikan ab bukan pembagi nol.

Andaikan ab merupakan pembagi nol (kiri), maka terdapat

sedemikian sehingga (ab)c = 0.

Tetapi (ab)c = a (bc)

Karena a bukan pembagi nol dan a(bc) = 0 maka bc = 0.

Karena b bukan pembagi nol dan bc = 0 maka c = 0.

Kontradiksi dengan pengandaian bahwa .

Maka pengandaian salah, jadi c haruslah 0 yang berarti ab bukan pembagi nol.

 

HUKUM PEMBATALAN

Teorema:

Jika D adalah daerah integral dan .

Bukti:

Diberikan

ab = ac

ab – ac = 0

a ( b – c ) = 0    karena , maka

b – c = 0

b = c

bukti di atas merupakan hukum pembatalan kiri.

Karena perkalian bersifat komutatif dalam suatu daerah integral,

maka hukum pembatalan kiri ekuivalen dengan hukum pembatalan kanan.

Hukum pembatalan kanan:

Jika dan ba = ca maka b = c.

Diberikan

ba = ca

ba – ca = 0

( b – c ) a = 0    karena , maka

b – c = 0

b = c

 

DAERAH INTEGRAL

Definisi :

Suatu ring komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol disebut daerah integral atau integral domain.

 

Suatu struktur aljabar dengan 2 operasi biner (R, +, .)dikatakan suatu daerah integral bila:

• tertutup terhadap penjumlahan ( R, + ) dan perkalian ( R, . )
• komutatif terhadap penjumlahan ( R, + ) dan perkalian ( R, . )
• assosiatif terhadap penjumlahan ( R, + ) dan perkalian ( R, . )
• tidak punya pembagi nol
• punya unsur identitas pada penjumlahan ( R, + ) dan perkalian ( R, . )
• punya invers atau balikan pada penjumlahan ( R, + )
• distributif perkalian terhadap penjumlahan

KARAKTERISTIK GELANGGANG

Definisi:

R adalah gelanggang jika terdapat bilangan bulat positif terkecil n dimana n.a = 0, maka n dikatakan karakteristik gelanggag R.

Jika tidak terdapat maka dikatakan berkarakteristik 0.

 

KARAKTERISTIK DAERAH INTEGRAL

Teorema:

Jika D suatu daerah integralmaka karakteristik D adalah 0 atau suatu bilangan prima.

Bukti:

Anggap bahwa karakteristik D adalah n dimana

Diberikan e adalah suatu unsur pada D, kita harus punya n > 1

Akan dibuktikan bahwa n prima.

Berdasarkan kontradiksi n tidak prima

n = r . s , , 1 < r < n dan 1 , s < n

n . e = 0 ↔      ( r . s ) e = 0

        ( r e ) ( s e ) = 0

(r e ) dan ( s e ) adalah pembagi nol pada D, jadi n haruslah prima.