29
Mar
11

Permutasi 1

Sebelum membahas lebih tentang permutasi maka kita terlebih dahulu mengerti tentang fungsi. Oleh karena itu gan pertama-tama akan diberikan definisi fungsi. FUNGSI & PERMUTASI Fungsi adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Jadi, fungsi atau pemetaan ɸ dari himpunan A ke dalam himpunan B adalah aturan yang mengaitkan setiap elemen a dari A dengan tepat satu elemen b dari B. Dapat dikatakan ɸ memetakan a ke b, juga ɸ memetakan A ke B. Dalam menulis fungsi ada beberapa macam notasi yang akan digunakan, antara lain a Ф = b Ф (a) = b a Ф = b atau bisa juga disimbolkan seperti ini Ф: A → B Tapi untuk selanjutnya akan banyak digunakan notasi a Ф = b Jika Ф dan ѱ suatu pemetaan dengan Ф:A→B dan ѱ:B→C, maka dapat digambarkan seperti di bawah ini Kita bisa membuat pemetaan dari A ke C melalui B dengan fungsi Ф dan ѱ. Fungsi seperti ini dinamakan komposisi fungsi dengan aФ = b dan bѱ = c, jadi a(Фѱ) = (aФ)ѱ = c Definisi : Sebuah fungsi dari A ke B dikatakan satu-satu (injektif) jika setiap anggota B maksimal memiliki satu anggota A yang dipetakan ke dirinya, jadi setiap anggota B memiliki maksimal satu prapeta. Fungsi dari A ke B dikatakan pada (surjektif) jika setiap anggota B punya prapeta di A.

Contoh fungsi injektif

Contoh fungsi surjektif

Contoh fungsi bijektif

Untuk pembuktian fungsi injektif dan surjektif akan diberikan pada grup permutasi.

DEFINISI Sebuah Permutasi dari Himpunan A adalah pemetaan dari A ke A yang satu-satu dan pada. Misalkan A = dan f suatu pemetaan satu-satu dan pada dari A ke A maka f adalah suatu permutasi tingkat n. Misalnya  f(a1) = b1 ,  f(a2) = b2 , f(a3) = b3 , …. , f(an) = bn dengan = , dua himpunan sama ini mempunyai urutan elemen yang berbeda. Contohnya

Sebuah operasi yang natural, perkalian permutasi, didefinisikan pada permutasi –permutasi di suatu himpunan. Misalnya A himpunannya, dan σ dan τ adalah permutasi pada A. Maka σ dan τ adalah pemetaan satu-satu dan pada dari A ke A. Disini kita akan buktikan komposisi fungsi στ merupakan suatu permutasi jika satu-satu dan pada di himpunan A. Kita buktikan terlebih dahulu στ satu-satu Jika :

a1(στ)  =  a2(στ)

Maka:

(a1σ)τ  =  (a2σ)τ

Karena   τ satu-satu maka pastilah a1σ = a2σ. Karena σ juga satu-satu maka a1 = a2 . Akibatnya στ adalah pemetaan satu-satu. Untuk menunjukkan στ pada, misalkan a sebarang anggota dari himpunan A, karena τ pada maka terdapat a’ sehingga a’ τ = a, tetapi karena σ juga pada maka terdapat a” sehingga a”σ = a’ akibatnya:

a = a’τ = (a”σ)τ = a” (στ)

jadi  στ juga pada. Ilustrasi, Misalkan  A = σ adalah permutasi yang diberikan, kita tulis σ dengan notasi umum : Sehingga kalau dilihat 1σ = 4 , 2σ = 2 , dst.. Kita misalkan τ juga permutasi, maka; Maka : yang diperoleh dari: 1 στ =  (1σ)τ =   4τ  = 2 2 στ =  (2σ)τ =   2τ  = 5 Dst

Kita akan menunjukkan bahwa koleksi semua permutasi himpunan  di A akan membentuk sebuah group atas perkalian permutasi.

Teorema 5.1

Misalkan A adalah himpunan tak hampa, dan misalkan SA adalah koleksi semua permutasi d A.  maka sebuah group atas perkalian permutasi.

Bukti.

Ada tiga sifat yang harus di buktikan sebab permutasi adalah suatu pemetaan dan untuk menunjukkan untuk setiap  σ, τ, dan μ berlaku

(στ)μ = σ(τμ)

Contoh

Jadi contoh matrix di atas terbukti asosiatif kemudian akan di tunjukkan setiap komposisi fungsi memetakan setiap α elemen A ke peta yang sama di A. oleh karena itu kita mesti tunjukkan

Jadinya (στ)μ dan σ(τμ) memetakan setiap α ϵ A  elemen yang sama, sehingga (στ)μ dan σ(τμ) adalah permutasi yang sama.  Karena dalam hal ini tidak menggunakan informasi bahwa σ, τ, dan μ  adalah satu-satu pada , maka komposisi pemetaan senantiasa assoiatifm jadi sifat pertama group di pernuh.

Sifat ke 2 identitas

Permutasi i yang bersifat ai = a untuk setiap α ϵ A akan jelas berlaku layaknya unsur identitas,

sifat ke 3

untuk permutasi σ, didefinisikan σ-1 adalah permutasi yang membalikkan peta dari permutasi σ kesemula, yg berarti σ-1 adalah a’ anggota A yang mana a = a’σ eksistensi ketunggalan a’ adalah akibat dari fakta bahwa, sebagai fungsi σ yang bersifat satu-satudan pada (lihat latihan 5.18) jelas bahwa

Sehingga σσ-1 dan σ-1 keduanya adalah permutasi di i sehingga sifat ke 3 grop terpenuhi

Tidak ada batasan dalam definisi kita kalau A adalah himpunan tak hingga,  tapi dalam contoh-contoh kita akan banyak dibahas mengenai permutasi pada himpunan berhingga.  Jelas bahwa jika A dan B memiliki jumlah anggota yang sama maka group dari semua permutasi pada A memiliki struktur yang sama dengan group semua permutasi di B.  group yang satu bisa diperoleh dari group lainya dengan menamai ulang anggota-anggotanya.  Ini lagi-lagi adalah konsep dari group isomorfisma yang akan disinggung di bab selanjutnya .

Definisi jika A adalah himpunan berhingga maka group semua permutasi pada A adalah group simetri pada n bilangan, dan di simbolkan dengan Sn

catat bahwa Sn memiliki n! anggota dimana

n! = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)

DUA CONTOH PENTING

Contoh 1 Misalkan A={1,2,3},didaftarkan permutasi-permutasi pada A yaitu

Meski di cek sendiri bahwa tabel perkalian di tabel dibawah ini adalah benar. Perlu dicatat bahwa grup ini tidaklah komutatif.

Terdapat korespondesi alami antara anggata-anggota S3 pada conto pertama dan cara dua buah segitiga samasisi yang kembar dengan titok sudut 1,2, dan 3. Perlu diketahui juga, pi untuk rotasi dan qi untuk pencerminan terhadap garis yang membagi  dua bangunan menjadi dua sama besar (bisektor). Grup dihedral ke-n merupakan grup simetri dari bangunan segi n.

Contoh 2

Kita bangun grup D4 dari permutasi yang berkorespondensi cara dua buah bujur sangkar yang kembar dengan titik sudut-sudutnya 1,2,3,dan 4. D4 kemudian akan menjadi gup simetri simetri dari bujursangkar.  Perlu diketahui yang akan dipakai dalam simbol berikut adalah pi, qi, dan ri. Dimana pi untuk rotasi, qi untuk pencerminan bisektor yang tegak lurus dengan sisi bujursangkar dan ri untuk pencerminan terhadap garis diagonal. Terdapat 8 permutasi disini, misalkan saja: Berikut adalah tabel yang dihasilkan oleh perkalian permutasi diatas: Garis biru merupakan untuk pencerminan bisektor yang tegak lurus dengan sisi bujursangkar, sedangkan garis merah pencerminan terhadap garis diagonal. Suatu rotasi berjalan searah jarum jam, sehingga ketika di putar 90 derajat, maka susunan yang semula 1,2,3,4 berubah menjadi 2,3,4,1. Ini berarti posisi 2 digantikan 1, 3 diganti 2, dan sterusnya. Begitu juga dengan susunan yang lainnya yang diputar oleh berdasarkan rotasi. Sekarang adalah pembuatan diagram lattice untuk sub gru-subgrup D4. Diagram lattice di bawah ini bisa ditentukan berdasarkan sipat pada bab sebelumnya (sub grup). Untuk contoh soal bisa dilihat di bawah ini

http://axohariri.wordpress.com/2011/03/28/contoh-soal-perkalian-permutasi/

http://tassiearmanatha.wordpress.com/2011/03/29/contoh-soal-permutasi-dan-pembahasannya/
http://tomtom09.wordpress.com/2011/03/30/contoh-soal-untuk-permutasi-i/

http://andies07.wordpress.com/2011/04/01/struktur-aljabar/


0 Responses to “Permutasi 1”



  1. Leave a Comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s


1_502554913l

Current CO2 Level in the Atmosphere

yang sudah mampir

  • 200,745 gamatika-ers

Kategori Tulisan

No Smoking

Lagi Online

Arsip

March 2011
M T W T F S S
« Feb   Apr »
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031  

%d bloggers like this: