HOMOMORFISMA

Definisi homomorfisma :

Jika G suatu grup dengan operasi * dan G’ suatu grup dengan operasi # maka pemetaan  f : G → G’ disebut  homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap a, b ϵ G berlaku

f ( a * b ) = f(a) # f(b)

Definisi diatas juga dapat ditulis f (ab)= f(a) f(b), pada ruas kiri menggunakan operasi pada G dan pada ruas kanan menggunakan operasi pada G’ . Dari definisi tersebut, mungkin anda mengira bahwa homomorfisma sama dengan isomorfisma, namun pada kenyataannya tak selalu sama. Perbedaan antara homomorfisma dan isomorfisma dapat kita lihat dari contoh-contoh berikut ini :

*)         Misalkan G grup bilangan real dengan operasi penjumlahan pada bilangan -bilangan real, dan G’ grup bilangan real dengan  operasi penjumlahan pada bilangan – bilangan real.

Definisikan f : G → G’ , dengan f(x)=3a untuk setiap x ϵ G.

Perhatikan bahwa G dan G memiliki operasi biner yang berbeda.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ G berlaku f (ab)= f(a) f(b)

Tetapi hal ini tidaklah sulit dilakukan, karena

f(a+b) = 3(a+b) = 3a +3b = f(a)+f(b) = f(a)f(b)

Jadi, f suatu homomorfisma.

Kita peroleh juga bahwa f bukan fungsi dari G pada G’. karena 3a selalu bernilai positif untuk bilangan real x berapa pun, akan tetapi f satu-satu, karena jika x,yÎG sebarang sedemikian sehingga f(x) = 3x = 3y = f(y), maka x = y .

Homomorfisma yang besifat satu-satu disebut momorfisma.

*)         Misalkan :        G  grup bilangan real dengan operasi penjumlahan dan

G’  ={ 0,1, 2, ……, n-1} adalah grup dengan operasi  penjumlahan.

Definisikan f :  G →G’  , dengan f(a) =[a] untuk setiap a ϵ G.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ  G berlaku f (ab)= f(a) f(b), maka

f (a+b) = [a +b ] = [a] + [b] = f(a) f(b)

Jadi f suatu homrfisma.

Dapat kita lihat bahwa f merupakan fungsi pada dari Z pada _, karena setiap [a] ϵ G’ pasti mempunyai pra peta pada G .

Homomorfisma yang bersifat pada disebut epimorpisma

*)         Misalkan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan – bilangan real, dan G’ grup bilangan real dengan operasi penjumlahan pada bilangan -bilangan real.

Definisikan f : G →G’, dengan f(x) = ln x  untuk setiap x ϵ G.

Perhatikan bahwa G danG’ memiliki operasi biner yang berbeda.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ G. berlaku f (ab)= f(a) f(b), maka

f (ab)= ln ab= ln a + ln b = f (a) f (b)

Jadi f terbukti homomorfisma.

Jika f(x) = f(y) akibatnya ln x =ln y sehingga x=y. ini menunjukkan f adalah fungsi satu-satu.

Jika ln r ϵ G maka r ϵ G’ , kemudian f(r) = ln r. Sehingga f bersifat pada.

Karena  f  bersifat pada dan satu-satu maka f bersifar bijektif, akibatnya f  isomorfisma.

Cotoh 3 ini menunjukkan isomorfisma pasti homomorfisma tapi homomorfisma belum tentu isomorfisma.

Teorema :

Jika  f  suatu homomorfisma dari grup G ke  grup G’, maka :

(i)                 f (e) = e’, dimana e ϵ G dan e’ ϵ G’

(ii) untuk setiap a ϵ G

 

Bukti :

(i)     Misalkan f  suatu homomorfisma dari grup G ke grup G’, untuk setiap a ϵ G berlaku ae = a maka f (a) f(e ) = f (ae) = f (a) = f (a)e’

Akibatnya  f (a) f (e) = f (a) e’

Berdasarkan pembatalan kiri dan kanan maka f (e) = e’

(ii)  Untuk setiap a ϵ G berlaku maka sehingga

akibatnya

□

Teorema :

Jika f suatu homomorfisma dari grup G ke grup G’, maka daerah hasil dari f  yaitu f (G) untuk setiap a ϵ G adalah subgrup G’.

 

Bukti :

Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke grup G’,

maka daerah hasil dari f  yaitu  f (G) = { x ϵ G’ çx =f (a), a ϵ G}

misalkan f (G)=H, maka H Ì G’

karena f (e) = e’ maka e’ ϵ H

akibatnya H suatu kompeks dari G’.

Ambil sebarang x, y ϵ H maka ada a, b ϵ G sedemikian hingga f (a) = x dan f (b)= y

sehingga Karena a,b ϵ G dan G suatu grup maka 

sehingga jadi

Ini berarti H adalah subgrup dari G’.

□

Contoh:

Misalkan  Z grup bilangan real dengan operasi penjumlahan.

Definisikan f : Z → Z , dengan f(x) = 2a untuk setiap x ϵ Z.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ Z_n berlaku f (ab)= f(a) f(b), maka

f (a+b) = 2 (a+b) =2a +2b = f(a) f(b)

Jadi f suatu homorfisma.

Dari definisi f(x) = 2a maka daerah hasil dari f = { 0, 2, 4, ………} = 2Z

2Z adalah subgrup dari Z.

KERNEL DARI HOMOMORFISMA

Definisi:          misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam f (Kf) adalah himpunan semua x ϵ G yang dipetakan olek  f  ke e’ dimana e’ meupakan unsur identitas dalam G’ atau Kf = { x ϵ G ç f(x) ϵ e’ }.

Contoh:           (Z,+) yaitu grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan.

Pemetaan f : Z → Z didefinisikan f(x)= mx untuk setiap x elemen G dan m suatu bilangan bulat, maka f  adalah suatu homomorfisma dan kernel dari (Z,+)  tersebut adalah {0}.

Teorema:

Misalkan f  homomorfisma dari grup G ke G’ dengan kernel K, maka K adalah subgrup normal dari G.

 

Bukti:

Pertama akan ditunjukkan bahwa K subgrup dari G.

misakan x,y ϵ K maka f(x)=e’ dan f(y)=e’

sehingga f(xy)= f(x) f(y)= e’ e’= e’ dimana xy ϵ K (sifat tertutup).

Selanjutnya

jadi

ϵ K (sifat invers).

Untuk menunjukkan sifat normal, ambil g ϵ G dan k ϵ K maka:

diperoleh

ϵ K sehingga K subgrup normal dari G.

□

HOMOMORFISM NATURAL

Setiap homomorfisma pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup factor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari domain homomorfisma ke grup  factor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisma baru yang disebut homomorfisma natural

Theorema :

Mislkan G suatu grup dan N adalah subgroup normal di G, di definisikan suatu pemetaan f  dari G ke grup factor G/N.

f : G → G/N dimana 

, untuk setiap x є G. maka f  adalah homomorfisma dari G yang bersifat pada.

Bukti :

Misal x,y є G sebarang

Maka  

Jadi, f  homomorfisma

Tunjukkan pada / surjektif

Ambil sebarang y є G/N

Maka

untuk suatu y є G

sdemikian hinga Jadi, homomorfisma f  pada

□

 

TEOREMA FUNDAMENTAL HOMOMORFISMA

Jika f suatu homorfisma dari grup G ke dalam grup G’  dengan kernel K,maka terdapat suatu isomorfisma dari G/K  ke dalam G’.

BUKTI

Misalkan f  fungsi dari G pada G’ dengan pengaitan f : G → G’ untuk setiap x ϵ G.,dan g fungsi G  ke dalam G/K  dengan pengaitan g : x → Kx untuk setiap x ϵ G dan kernel dari g adalah K.

Sekarang bangun fungsi h dari G/K  ke dalam G’  dengan pengitan h : Kx → f(x)  untuk setiap x ϵ G.

Perhatikan diagram berikut

Pengaitan f.g dan h digambarkan seperti gambar berikut

Akan ditunjukkan bahwa h adalah suatu homomorfisma dan satu-satu (isomorfisma) dari G/K  ke dalam G/K.

Pertma-tama kita akan menunjukkan bahwa h merupakan pemetaan,dalam arti kita akan menunjukkan bahwa pengaitan untuk h : Kx → f(x)  terdefinisi dengan baik (well defined).

SOAL

1)      Misalkan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan – bilangan real, dan G’ grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan – bilangan real.

Definisikan f : G → G’ , dengan f(x)=1/a untuk setiap x ϵ G.

morfisma dan tentukan kernelnya !

2)   Misalkan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan – bilangan real, dan G’ grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian ada bilangan – bilangan real.

Definisikan f : G → G’ , dengan 

untuk setiap x ϵ G.

Tunjukan f homorfisma dan tentukan kernelnya !

Untuk mengetahui jawaban 2 soal diatas silahkan klik disini http://ismiyusrina09.wordpress.com/2011/05/24/contoh-soal/#more-282

3) Misalkan G grup semua matriks real 2 x 2 yang berbentuk

sehingga ad ≠ 0, dengan operasi perkalian matriks-matriks.

Misalkan juga G’  grup bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian. Definisikan  f : G → G’ denganuntuk setiap ϵ G. Carilah kernel dari matriks tersebut !!     pada operasi jumlah.

Untuk mengetahui jawaban soal diatas silahkan klik disini http://ismiyusrina09.wordpress.com/2011/05/25/soal-junet/#more-296

4) Tunjukan bahwa f homomorfisma dan pada ! (contoh soal homomorfisma natural)

Untuk mengetahui jawaban soal diatas silahkan klik disini http://ismiyusrina09.wordpress.com/2011/05/25/soal-no-4/#more-303

4)      Tunjukkan bahwa sembarang grup siklik adalah isomorfisma baik terhadap integer Z atas penjumlahan,ataupun terhadap  intger atas penjumlahan modulo m ! (contoh soal teorema homomorfisma fundamental)

Untuk mengetahui jawaban soal diatas silahkan klik disini http://ismiyusrina09.wordpress.com/2011/05/25/teorema-fundamental-homomorfisma/#more-311

KELOMPOK 10 :

• FIPIT MELAWATI                         ( G1D 006 026 )
• RAJIATUL HIDAYAH                   ( G1D 007 040 )
• ISMI YUSRINA MUHTI                ( G1D 009 006 )
• MUHAMAD JUNAIDI                    ( G1D 009 034)