01
Jun
11

BAB 11 GELANGGANG

GELANGGANG

Untuk setiap a,b,c anggota R berlaku a(b+c) = ab+ ac atau (a + b)c = ac + bc Definisi gelannggang:

Gelanggang adalah system matematika yang melibatkan 2 operasi ( R,+,x).

(R,+,x) dikatakan gelanggang jika memenuhi :

  1. (R,+) membentuk grup komutatif.

    Untuk setiap a,b anggota R berlaku a+b = b+a

  2. (R,x) bersifat assosiatif .

    Untuk setiap a,b,c anggota R berlaku (ab)c = a(bc)

    Dan terdapat unsure perkalian 1 R yang berbeda dari 0 bersifat a1=a1=a.

  3. (R,+,x) bersifat distributive

     

     

Ada beberapa istilah yang berkaitan dengan Z6,Z,Q yaitu

 

Gelanggang komutatif. Gelanggang R=(R,+,x) yang memenuhi sifat komutatif. ab=ba ,a dan b anggota R.

 

Daerah integral.gelanggang komutatif D=(D,+,x) yang tidak memuat pembagi nol,yaitu untuk unsur a dan b di D memenuhi ab=0 berlaku a=0 atau b=0.

 

Lapangan .gelanggang komutatif L=(L,+,x) Yang memuat balikan untuk setiap unsur yang tak nol ,yaitu untuk aL dan a≠0 terdapat L yang memenuhi =1

 

IDEAL

Definisi:

Misalkan R=(R,+x) suatu gelanggang .sub himpunanan I subset R disebut ideal kiri(ideal kanan) jika:

    1.terhadap operasi tambah (I,+) membentuk subgrup dari (R,+)

    2.untuk setiap x I dan r R maka berlaku rx Ixr I

Sifat 1.1

Misalkan I suatu subhimpunan tak hampa dari gelanggang R. maka I suatu ideal kiri(ideal kanan) jika dan hanyajika untuk setia[p unsur x dan y di I dan r R berlaku x+y I dan rx I(xr I).

Bukti:

Jika I suatu ideal,menurut definisi di atas jelas berlaku x+y I dan rx I(xr I)

Sebalik nya ,misalkan berlaku x+y I dan ry I(yr I) untuk semua x,y I dan r R.dalam hal ini cukup di buktikan x-y I.

Pilih r=-1 maka y+(-y)=1y+(-1)y=(1-1)y=0y=0

Hubungan ini memberikan (-1(y=-y dengan cara yang sejalan di [eroleh y(-1)=-y.dengan demikian diperoleh x-y=x+(-1)y I,yang menunjukan (I,+) merupakan subgrup dari (R,+).

HOMOMORFISMA GELANGGANG

DEFINISI:

misalkan R dan S adalah gelanggang.

α=pemetaan dari R ke S disebut homomorfisma gelanggang jika untuk setiap unsur a dan b di R berlaku:

    1.α(a+b)=α(a)+α(b)

    2.α(ab(=α(a)α(b)

    3.α()= dimana merupakan unsur kesatuan dari gelanggang R dan S.

 

 

Inti homomorfisma

Inti homomorfisma α:R→S di definisi kan sebagai subhimpunan unsur di gelanggang R yang di petakan oleh α menjadi 0. Yaitu

Inti (α)={rI r R,α(r) =0

Sifat:

Inti homomorfisma gelanggang α:R→S membentuk ideal dari R.

Bukti:

α(0)=0

maka inti (α)≠0.ambil unsur x dan y di Inti(α) dan r R.sehingga

α(x+y)=α(x)+α(y)=0

α(ry)=α(r)α(y)=0

α(xr)=α(x)α(r)=0

jadi kita pereoleh x+y,rx, dan xr di inti(α).itu artinya inti(α) membentuk ideal di R.

 

Gelanggang komutatif

Definisi 1

Suatu Ideal I dari gelanggang komutatif R dikatakan maksimal jika

  1. I ≠ R
  2. Jika J suatu ideal dari R yang memuat I dan berbeda dari I, maka J = R

Sesuai dengan fenomena yang berlaku pada lapangan bilangan rasional diatas, kita punya sifat berikut.

Sifat 1. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Maka R suatu lapangan jika dan hanya jika ideal nol bersifat maksimal.

Bukti :

Misalkan R suatu lapangan dan J suatu ideal dari R, J ≠ O. ( ideal nol {0} kita tandai dengan O) a J dan a ≠ 0.Maka kita punya J C{ ra l r R}. Karena R lapangan dan a ≠ 0, untuk r = a-1 kita punya 1 = a-1a J. jadi J = R. ini menunjukkan bahwa ideal nol O bersifat maksimal.

Sebaliknya, misalkan ideal nol O bersifat maksimal dan b R, b ≠ 0. Subhimpunan I = { rb | r R} membentuk ideal di R, dan I ≠ O. karena O ideal maksimal ,maka I = R. terdapat unsure c R yang memenuhi cb = 1. Maka b = 1/c. dengn kata lain , unsure b mempunyai balikan dan ini berlaku untuk semua unsur b R, b ≠ 0. Jadi R sebuah lapangan.

Berdasarkan sifat diatas kita ungkapkan lebih umum,yaitu untuk ideal yang tak perlu nol,dalam teorema berikut.

Teorema 1. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I suatu ideal dari R. maka gelanggang kuosien R/I membentuk lapangan jika dan hanya jika I ideal maksimal.

Bukti :

Misalkan R/I lapangan dan J suatu ideal, I C J (artinya I C J dan I ≠ J ). Ambil unsur a R, a ≠ I dan pandang subhimpunan J’ = { x + ra | x I dan r R}. Untuk unsur v1 dan v2 dan J’, v1 = x1 + r1a dan v2 = x2 + r2a dengan x1,x2 di I dan r1,r2 di R, dan S R berlaku v1 + v2 = ( x1 + x2) + ( r1 +r2) a J’.Jadi J’ suatu ideal dari R.

Unsur a bukan anggota dari I ekuivalen dengan mengatakan a R/I dan a ≠ 0. Karena R/I lapangan , terdapat ba= 1. Kita punya 1 = x + ba dengan x I dan b R.kita peroleh 1 = x + ba J’ dan ini memberikan J’ = R. akibatnya J = R. Jadi I suatu ideal maksimal di R.

Sebaliknya, misalkan I ideal maksimal. Ambil unsur a R/I yang bukan 0. Ini ekuivalen dengan mengatakan a bukan elemen dari I. seperti diatas, subhimpunan J’ = { x + ra | x I dan r R}membentuk ideal di R, I C J dan I ≠ J, karena I ideal maksimal,kita peroleh J’ = R. Terdapat unsur x I dan b R yang memenuhi x + ba = 1. Ini memberikan ba = 1. Jadi setiap a R/I ,a ≠ 0 memenuhi balikan dengan kata lain , R/I suatu lapangan.

Untuk karakteristik daerah integral kita perhatikan bahwa daerah integral tidak memuat pembagi nol. Misalkan D suatu daerah integral dan O menyatakan ideal nol. Untuk unsur a dan b di D yang memenuhi ab O senantiasa berlaku a O atau b O. berdasarkan fakta ini kita ketengaahkan definisi berikut

Definisi 2. Suatu ideal I dari gelanggang komutatif R dikatakan prim jika untuk unsure a dan b di R yang memenuhi ab I berlaku a I atau b I.

berkaitan dengan definisi 2 dan fakta diatas kita punya sifat berikut.

Sifat 2. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Maka R suatu daerah integral jika dan hanya jika ideal nol O bersifat prim.

Berdasarkan sifat diatas kita ungkapkan lebih umum dalam teorema berikut.

Teorema 2. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I suatu ideal di R. maka gelanggang kuosien R/I suatu daerah integral jika dan hanya jika I ideal prim.

Bukti :

Misalkan R/I daerah integral. Selanjutnya , misalkan unsur a dan b di R memenuhi ab I. ab = 0. Maka a = 0 atau b = 0. Dengan kata lain a I atau b I. jadi I suatu ideal prim.

Sebaliknya, misalkan I ideal prim. Misalkan c dan d di R/I memenuhi cd = 0. Kita punya cd = 0 atau cd I. karena I ideal prim , maka berlaku c I atau d I ; dengan kata lain c = 0 atau d = 0. Jadi, R/I suau daerah integral.

Dari teorema 1 dan 2 mempunyai akibat seperti kita ketengahkan dalam sifat berikut.

Sifat 3. Setiap ideal maksimal dalam gelanggang komutatif senantiasa bersifat prim.

Bukti:

Misalkan R gelanggang komutatif dan I suatu ideal maksimal dari R. menurut teorema 1, gelanggang kuosien R/I suatu lapangan , jadi R/I juga suatu daerah integral. Menurut teorema 2, ideal I bersifat prim.

DAERAH INTEGRAL SECARA UMUM

Suatu Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol disebut Integral

Domain (Daerah Intergral).

Untuk lebih jelas mengenai syarat-syarat dari Integral Domain

adalah sebagai berikut :

 

Definisi

Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu

Integral Domain (Daerah Integral) bila :

 

1. Tertutup terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a dan b adalah anggota R,

maka a dan b tertutup bila a + b ÎR

2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a,b,c Î R

maka (a + b) + c = a + (b + c)

3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a Î R

maka a + e = e + a = a

4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a Î R

maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0

5. Komutatif terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a,b Î R

maka a + b = b + a

6. Tertutup terhadap perkalian (.)

Misalkan a dan b adalah anggota R,

maka a dan b tertutup bila a . b ÎR

7. Assosiatif terhadap perkalian (.)

Misalkan a,b,c Î R

maka (a.b).c = a.(b.c)

8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (.)

Misalkan a Î R

maka a.e = e.a = a

9. Komutatif terhadap perkalian (.)

Misalkan a,b Î R

maka a . b = b . a

10. Tidak ada pembagi nol

Misalkan a,b Î R

Jika a.b = 0, maka a = 0 atau b = 0

11. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+)

 

SUKU BANYAK

 

Salah satu sifat yang berkaitan dengan suku banyak F[x] kita punyai sift berikut

Sifat:

    Untuk setiap suku banyak f dan g di F [x] berlaku :

  1. Der (f + g) maks {der (f) , der (g)},
  2. Der (fg) = der (f) + der (g).

Bukti:

    Kasus pertama.

Salah satu f atau g adalh suku banyak nol. Misalkan f=0. Karena der(f) = -, maka kita punyai :

  1. Der (f + g) = der (g) = maks { der(f) ,der (g) }.
  2. Der (fg)= der (0) = -= – + der (g) = der (f) + der (g).

 

Kasus Kedua.

Suku banyak f dan g bukan suku banyak nol. Misalkan der (f) =m dan der (g) =n dengan mn. Selanjutnya, misalkan

f= dan g=

1.kita punyai

    f+g=.

Kita peroleh der (f + g) = n = maks {m,n}. Dalam hal m=n dan , kita peroleh der (f + g) <m = n =maks {m,n}. Jadi, untuk setiap suku banyak f dan g di F[x] berlaku:

    der (f + g)< maks {der (f),der(g)}.

2.kita punyai


Karena dan unsur tak nol di lapangan F.kita peroleh der (fg) = m+n = der (f) + der (g).

 

 

Terdapat definisi dimana suku banyak dikatakan tak tereduksi sebagai berikut:

Definisi:

    Suku banyak pF[x]dengan der (p) >0 dikatakan tak tereduksi jika tidak terdapat suku banyak a dan b di F [x] yang berderajat positif yang memenuhi p=ab.

    Menurut Definisi suku banyak berderajat 1 senantiasa tak tereduksi.Sukubanyak berderajat lebih besar dari 1 yang tidak memenuhi definisi di atas kita katakan tereduksi.

    Untuk keperluan ini suku banyak fF[x] kita tuliskan juga dengan tanda f(x).

Definisi :

    Misalkan f(x)F[x].Unsur αF disebut akar dari suku banyakf(x) jika f(α)=0.

Dari Definisi tersebut dapat kita katakana fakta berikut.

  1. Semua unsur α F adalah akar suku banyak nol.
  2. Suku banyak berderajat nol,yaitu suku banyak konstan yang bukan nol,tidak mempunyai akar.
  3. Sukubanyak berderajat 1 senantiasa mempunyai akar.`

 

LAPANGAN HASIL BAGI

Sifat 1 Relasi ̴padaDxD*suaturelasiekivalen.

Bukti

  1. Sifatrefleksif. Untukpasang (a,b) ЄDxD*senantiasaberlaku (a,b) ̴(a,b) karenaab=ab
  2. Sifatsimetri. Misalkan(a,b) dan (c,d) di DxD*memenuhi(a,b) ̴ (c,d). artinya ad=cb. Kita perolehcb=ab, atau(c,d)̴(a,b).
  3. Sifattransitif. Misalkanpasang(a,b),(c,d)dan (e,f) di DxD*dengan(a,b) ̴ (c,d)dan(c,d)̴(e,f). kitapunya ad=cbdancf=ed. Hubunganinimemberikan fad=fcb=edb, karena D suatudaerah integral dan f ≠ 0. Selanjutnya, karena b ≠ 0 kitaperolehaf=eb, atau(a,b) ̴(e,f).

    Dengandemikian, kitatelahtunjukkanbahwa ̴suaturelasiekivalen.

Definisi 1 Misalkan [a,b] dan[c,d]kelasekivalen di Q (D).

        [a,b] + [c,d] = [ad+cb,bd]

        [a,b][c,d] = [ac,bd].

    Hubungandalamdefinisi di atasditentukanolehwakil (a,b) dan (c,d) berturut-turutdarikelasekivalen[a,b] dan [c,d]. definisitersebutbaik, jikatidakbergantungpadawakilklasekivalen. Untukitukitaketengahkansifatberikut.

Sifat 2 Misalkan[a,b] = [a’,b’]dan[c,d] = [c’,d’].maka

        (ad+cb,bd) = [a’d’+c’b’,b’d’] ,

    [ac,bd]    =[a’c’,b’d’]

Bukti

Pasang (a,b) dan (a’,b’) mewakiliklasekivalen yang sama, artinya (a,b) ̴ (a’,b’ atauab’=a’b. jugakitapunyai (c,d) ̴ (c’,d’), atau cd’ = c’dkitaperoleh

    (ad+cb)b’d’ = adb’d’ + cbb’d’ =a’bdd’+c’dbb’

            = (a’d’ + c’b’) bd.

Jadi (ad+cb,bd) ̴ (a’d’ +c’b’,b’d’), atau[ad+cb,bd] = [a’d’+c’b’,b’d’]

Dengancara yang sejalankitaperoleh[ac,bd]=[a’c’,b’d’].

Teorema 3 SistemQ(D),+,x) membentuksuatulapangan

BuktiI.TerhadapoperasitambahQ(D),+).

1a. sifatassosiatif.Misalkan [a,b], [c,d] dan [e,f] di Q(D). kitapunyai

    ([a,b]+[c,d])+[e,f] = [ad+cb,bd]+[e,f]

                =[(ad+cb)f+e(bd),(bd)f]

                =[a(df)+(cf+ed)b,b(df)]

    =[a,b][cf+ed,df]

    =[a,b]([c,d]+[e,f]).

1b. Sifatkomutatif.Misalkan [a,b] dan [c,d] di Q(D). kitapunyai

    [a,b] + [c,d]    = [ad + cb,bd]=[cb + da,db]

        = [c,d]+[a,b].

1c. Unsur nol. Pandang klasekivalen [0,1] Є Q(D) danmisalkan [a,b] Є Q(D). kitapunyai

    [a,b] + [0,1]    = [a.1 + 0b,b1] = [a,b],dan

    [0,1] + [a,b]    = [0b + a1,1b] = [a,b].

Jadi, terdapat [0,1] Є Q(D) ,unsurnol, dengansifat

    [a,b] + [0,1] = [0,1] + [a,b] = [a,b] untuksemua [a,b] Є Q(D)

1d. Unsurbalikan.Misalkan [a,b] Є Q(D)danpandangklasekivalen [-a,b] Є Q(D). kitapunyai

    [a,b] + [-a,b]    =[ab + (-a)b,b2] = [0,b2] = [0,1], dan

    [-a,b] + [a,b]    = [(-a)b + ab,b2] = [0,1]

    Jadi, untuksetiap [a,b] Є Q(D)terdapat [-a,b] Є Q(D) yang memenuhi

        [a,b] + [-a,b] = [-a,b] + [a,b] = [0,1],

Yaitu–[a,b] = [-a,b].

BuktiII. Terhadapoperasi kali (Q(D),X).

IIa.SifatAssosiatif diserahkan kepada pembaca

IIb.SifatKomutatif diserahkan kepada pembaca

IIc. Unsurkesatuan .pandang [1,1] Є Q(D), unsurkesatuan yang memenuhi

    [a,b][1,1] = [1,1] [a,b] = [a,b]

    Untuksemua [a,b] Є Q(D)

IId. unsurbalikan.Misalkan [a,b] Є Q(D) yang bukanunsurnol, yaitu [a,b] ≠ [0,1]. Hubungan yang terakhirinibenarjikadanhanyajika a≠0.Dengandemikan, kitapunyai [b,a] Є Q(D). selanjutnya, kitapunyai

        [a,b][b,a] = [b,a][a,b] = [1,1], yaitu [a,b]-1 = [b,a].

BuktiIII Sifatdistributife.Misalkan [a,b],[c,d] dan [e,f] di Q(D). terhadapoperasitambahdanoperasi kali secarabersama-sama, kitapunyai

        [a,b]([c,d]+[e,f])     = [a,b][cf+ed,df] = [a(cf+ed),b(df)]

            = [a(cf+ed)b,b(df)b}

            = [(ac)(bf)+(ae)(bd),(bd)(bf)]

            = [ac,bd]+[ae,bf]

            = [a,b][c,d]+[a,b][e,f]

    Dengandemikian, telahkitatunjukkanbahwasisten (Q(D),+,x) membentuksuatulapangan

Sifat 4 pengaitanφ : a → [a,1] untuksemua aЄ D mendefinisikanhomorfismagelanggangφ: D →Q(D) yang bersifatsatu-satu.

BuktiMisalkan a dan b unsur di D, Pengaitanφ : a → [a,1]untuksemuaaЄDmendefinisikanφ: D →Q(D). kitapunyaihubunganberikut:

  1. φ (a+b) = [a+b,1] = [a,1] + [b,1] = φ (a) +φ (b)
  2. φ (ab) = [ab,1] = [a,1][b,1] = φ(a)φ(b)
  3. φ(1) = [1,1], unsurkesatuan di Q(D)

     

    Inimenunjukkanbahwapemetaanφ: D →Q(D)suatuhomorfismagelanggang.

Selanjutnya, misalkanunsuraЄDmemenuhiφ (a) = [0,1]. Kita peroleh [a,1] = [0,1] artinya (a,1) ̴ (0,1), atau a=0. Jadiφ: D→Q(D) suatuhomorfismagelanggang yang bersifatsatu-satu

 

Untuk contoh soal : -gelanggang dan ideal klik di www.parzan07.wordpress.com

            -gelanggang komutatif klik di www.diansusanti09.wordpress.com

            -suku banyak klik di www.tomodachi07.wordpress.com

            -lapangan hasil bagi klik di www.laloemipa024.wordpress.com

NAMA KELOMPOK 11

  1. PARZAN (G1D007036)
  2. DIAN SUSANTI (G1D009016)
  3. DIAN ADITYA NUGRAHA (G1D007013)
  4. PRATOMO (G1D007037)
  5. LALU MASYHUDI (G1D007024)

            
 

    
 

 

 

        
 

 

 

 

 

 

 

 

 


 


0 Responses to “BAB 11 GELANGGANG”



  1. Leave a Comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s


1_502554913l

Current CO2 Level in the Atmosphere

yang sudah mampir

  • 200,745 gamatika-ers

Kategori Tulisan

No Smoking

Lagi Online

Arsip

June 2011
M T W T F S S
« May   Jul »
 12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
27282930  

%d bloggers like this: