13
May
11

Paradoks Banach-Tarski


Keanehan dalam matematika tidaklah sedikit. Dalam artikel ini diperkenalkan salah satu teori matematika yang menarik untuk kita ketahui. Teori ini berkaitan dengan salah satu objek dalam R3.

Bisa dibilang ini adalah yang paling mustahil, paling aneh, dan paling ajaib dalam matematika. Menurut Paradoks Banach-Tarski, kita bisa memecahkan bola padat menjadi kepingan- kepingan berhingga kemudian menyusun ulang kepingan-kepingan tsb dengan menggunakan rotasi, dan translasi menjadi 2 buah bola yang identik dengan sebelumnya. Perlu dipahami bahwa bola padat yang dimaksudkan disini adalah bola padat menurut pemahaman matematika yaitu himpunan titik-titik tak hingga yang didefinisikan sebagai

    

dengan r jari-jari bola.

 

Teori yang ditemukan oleh Stefan Banach dan Alfred Tarski ini melibatkan beberapa teori sebelumnya yaitu Translasi, rotasi, isometri, kongruen dan aksioma pilihan.

Paradox Banach-Tarski (PBT) dijelaskan dalam dua versi yaitu versi lemah dan versi kuat. Kedua versi ini memperlihatkan keanehan, dan keajaiban yang berbeda.

 

Versi Lemah

Proses PBT yang dijelaskan dalam versi ini mempertahankan: Bentuk, Ukuran, Kepadatan, dan Volume.

  • Bentuk, artinya setelah proses PBT berlangsung bola padat yang dihasilkan sama seperti bola padat sebelumnya, tidak menjadi lonjong, gepeng atau setengah bola.
  • Ukuran, artinya jika bola padat yang dipecah berjari-jari r, maka hasil PBT akan tetap berjari-jari r juga.
  • Kepadatan, artinya untuk mendapatkan dua atau lebih bola padat yang memiliki ukuran dan bentuk yang sama dari susunan pecahan sebuah bola padat, tidak dilakukan peregangan, sehingga kepadatannya tetap.
  • Volume, artinya tidak dilakukan penambahan material kepingan dari luar kepingan sebuah bola padat sebelumnya.

 

Untuk lebih jelasnya, perhatikan analogi berikut :

 

 

 

 

            

 

 

Secara formal, PBT Versi Lemah ini mengatakan,

Untuk sebarang bola padat dapat dipecahkan menjadi kepingan-kepingan berhingga dan isometri pada R3 sedemikian sehingga

    

 

Versi Kuat    

Disini PBT hanya mempertahankan: Bentuk,dan Kepadatan.

Untuk volume dan ukuran tidak dipertahankan, namun bukan berarti versi ini tidak lebih aneh dari versi kuat. Untuk penjelasan mempertahankan bentuk dan kepadatan sama dengan di atas. Analogi berikut akan membantu Anda untuk menjadi lebih yakin bahwa versi ini memang pantas dikatakan versi kuat.

 

 

(sebuah kelereng)

    
 

 

 

 

(Matahari)

 

Sangat mustahil bukan ?

Percaya atau tidak, didunia matematika itu sangat mungkin dengan menggunakan PBT versi ini.

 

Versi kuat PBT mengatakan,

Untuk sebarang dua bola padat A dan B dengan, maka dapat dipecah menjadi kepingan-kepingan berhingga dan sedemikian sehingga untuk setiap i dari 1 sampai n,Ai kongruen dengan Bi.

 

Perlu diketahui bahwa PBT ini tidak berlaku di R dan R2. Dan beberapa literature mengatakan bahwa PBT akan dapat terjadi jika banyak kepingan tidak kurang dari 4 kepingan.

 

 

 

Nama        : Rody Wardanial

NIM        : G1D 008 041

 


16 Responses to “Paradoks Banach-Tarski”


  1. 1 123nyren
    May 13, 2011 at 2:43 am

    ada 2 postingannya rod,,pi kyknya ni yg lebih lengkap ya…
    hmm,paradoks kl di base indo mrupakan majas ya…
    Mathematicious,,,dlm math,,impossible is nothing,,hee🙂

  2. 3 sierra1010
    May 16, 2011 at 5:35 am

    kapan seminarnya?

  3. May 21, 2011 at 1:43 am

    dua ia neng ?
    Hehe.. Gra2 dayat aja tu,

  4. May 21, 2011 at 1:44 am

    siti, blm nh,, trkhr sy jdnya..

  5. May 21, 2011 at 1:44 am

    dur, ndk mw blng yg laen ?

  6. 7 itha89
    May 21, 2011 at 2:15 am

    bgus rod, aneeehh…

  7. 8 tinz08
    May 21, 2011 at 2:32 am

    sumpah rod, musthil tuh kalo dunia nyata, mantap.

  8. 9 uyu ~ ung
    May 21, 2011 at 2:38 am

    dpt dr mna rod ?
    Tmben sy dnger, bgus..

  9. 10 eena
    May 21, 2011 at 2:42 am

    setuju ma ung ..

  10. 11 ernagalery2008
    May 21, 2011 at 3:37 am

    nrul ma titin dluin sya nh..

  11. 12 rody999
    May 21, 2011 at 3:40 am

    mkasi tin, ung, tpi pling trhr sya..

  12. 13 rody999
    May 21, 2011 at 3:41 am

    itha, td udh jg yg pnya siti.

  13. 14 boris (miLanisti)
    May 21, 2011 at 6:52 am

    aneh,,mustahil,,

  14. 15 mathrijal08
    May 22, 2011 at 1:51 pm

    bagus rod…
    like punya saya juga dong…hee
    makasi

  15. 16 waterlily24390
    June 30, 2011 at 3:46 am

    gambar mataharinya mantabs hahahha..jangan lupa like punya mb juga yaaa..


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s


1_502554913l

Current CO2 Level in the Atmosphere

yang sudah mampir

  • 200,745 gamatika-ers

Kategori Tulisan

No Smoking

Lagi Online

Arsip

May 2011
M T W T F S S
« Apr   Jun »
 1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031  

%d bloggers like this: