06
May
11

KOSET

Hai-hai para bloger ^^

Kami dari kelompok 8 akan membahas materi KOSET

Sebelum kita memasuki definisi koset akan diperkenalkan definisi koset kanan

dan koset kiri. Akan diperjelas juga dengan memperlihatkan teorema-teorema

yang berhubungan dengan koset.

Cekidot !!

Definisi koset kanan dan kiri

Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup G, didefinisikan


Dan


Berturut-turut disebut Koset Kanan dari H pada G dan Koset Kiri dari H pada G untuk setiap

Pertama-tama akan dibuktikan (koset kiri).

Sehingga K disebut koset jika K merupakan koset kiri atau koset kanan dari H

CONTOH : Misalkan G grup bilangan bulat di bawah operasi

penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, dan H himpunan semua bilangan bulat

kelipatan 3, yaitu .

Tentukan semua koset kanan dan kiri dari H pada G

Contohnya grup yang tidak komutatif :

Grup Matriks 2×2 terhadap operasi perkalian dengan det≠0

Lemma 1 : Misalkan G grup dan H subgrup dari G, dan . Jika
, maka


BUKTI. Karena , dan H subgrup dari G, maka sebarang berlaku

dengan demikian. Sebaliknya, untuk sebarang berlaku



Karena H subgrup dari G, maka dengan demikian yang

mengakibatkan Jadi

Contoh :

terhadap operasi penjumlahan, dimana H = {0,2,4}

Tentukan kosetnya.

LEMMA 2 Jika , maka order koset kiri H sama dengan order H .

BUKTI : Tunjukan ada pemetaan bijektif (satu-satu dan pada )

atau

memetakkan ke

Dapat dinotasikan untuk setiap

(lebih jelasnya dapat dilihat pada PENGANTAR ALJABAR ABSTRAK hal 32).

Pemetaan ini surjektif berdasarkan definisi yaitu ,

karena setiap elemen di mempunyai prapeta di .

Untuk membuktikan injektif (satu-satu), andaikan

untuk

Maka ada pemetaan bijektif (satu-satu dan pada) .

Dengan cara yang sama dapat kita tunjukan ,

maka dapat disimpulkan Setiap koset baik kiri maupun kanan

dari subgrup mempunyai order yang sama dari order subgroup itu sendiri

LEMMA 3 misalkan , jika maka

Bukti : menggunakan kontradiksi , andaikan ada x di irisan keduanya

Maka     untuk setiap


ambil , maka

    

Sehingga

ambil , maka

maka


Sehingga

Karena dan maka Ha = Hb ,

ini menimbulkan kontradiksi Q.E.D

Teorema Langrange

Tujuannya untuk mengetahui hubungan grup berhingga dengan subgrupnya

Teorema Langrange :

“Diberikan H subgrup dari grup berhingga G maka order dari H membagi habis order dari G”.

Bukti:

Misalkan koset-koset kiri dari H dalam G membentuk partisi dari G,

sehingga G dapat ditulis sebagai gabungan dari koset-koset yang lepas

(disjoint) sebagai berikut (by lemma 3):


untuk suatu himpunan terhingga dengan unsur-unsur

.

|H| adalah sebagai banyaknya unsur-unsur dalam tiap-tiap koset.

Jadi, jumlah semua unsur dalam gabungan :


sehingga k merupakan penggandaan dari

Oleh karena itu, membagi habis

Contoh :

Diberikan grup  dan

subgrupnya  dan ,

Tentukan penyelesaian menurut Teorema Langrange

Indeks pada Grup

Indeks dari subgrup (berhingga atau tidak) pada grup
adalah

ukuran relative dari pada atau kardinalitas H pada G

(Kardinalitas : banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut).

Setara dengan ” Banyaknya Koset kanan (atau kiri) dari pada

(order koset kiri = order koset kanan)


Keterangan :     n(G) merupakan order dari grup G

n(H) merupakan order dari subgrup H

Misalnya terdapat indeks 2 dari pada ,itu berarti “setengah”

dari order di ada di

Contoh :

  1. Tentukan indeks subgroup H dalam grup G pada operasi kali jika

    dan


    jawabannya klik disini iaa

    2. Tentukan indeks H dalam G pada operasi jumlah jika


    jawabannya adaaaalah

    3. Misalkan 3Z merupakan Subgrup dari Z (pada operasi penjumlahan). Tentukan indeksnya?


    klik untuk mndptkan jwabannya

    4. Misalkan 5Z merupakan Subgrup dari Z (pada operasi penjumlahan).Tentukan indeks nya?

    jawabannyaa this is it

    5. Misalkan G adalah suatu Grup dalam S3 terhadap operasi perkalian

    dan Subgrupnya tentukan

answer ^^

Grup dengan order prima

Grup berorder prima merupakan akibat dari teorema lagrange.

Jika order dari G adalah bilangan prima maka G merupakan grup siklik

Bukti :

Misalkan m bilangan prima maka pembagi dari m hanyalah 1 dan m saja,

dan subgrup dari G hanyalah {e} dan G saja.

Ambil dengan

maka himpunan perpangkatan bilangan asli dari x, yaitu

merupakan subgrup dari G.

Karena maka H = G, dan karena H grup siklik maka G juga grup siklik.

Dan inilah akhir dari penjelasan KOSET

Sampai jumpa pada tulisan berikutnya ^^

KELOMPOK 8

RINJANI PEBRIAWAN                       G1D009043

ILHAMI SUKMANINGSIH               G1D009011

HARWANDI                                               G1D009017

ROHMATUN                                              G1D007043


4 Responses to “KOSET”


  1. 2 imam
    April 8, 2015 at 4:35 pm

    buku aljabar abstraknya mana?

  2. February 23, 2016 at 4:21 pm

    I’m curious to find out what blog system you are working with?
    I’m having some small security problems with my latest blog and I would
    like to find something more risk-free. Do you have any
    recommendations?


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s


1_502554913l

Current CO2 Level in the Atmosphere

yang sudah mampir

  • 200,745 gamatika-ers

Kategori Tulisan

No Smoking

Lagi Online

Arsip

May 2011
M T W T F S S
« Apr   Jun »
 1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031  

%d bloggers like this: