13
Apr
11

GRUP SIKLIK

7.1 Sifat-sifat Dasar‌

Jika G suatu grup dan a Є G , maka H= {an | n Є } adalah subgrup dari G yang dinamakan subgroup siklik G yang dibangun oleh a.

Jika diberikan grup G dan elemen a Є G maka G= {an | n Є }, a dinamakan pembangun G dan grup G = <a>
dinamakan grup siklik.

 

Teorema 7.1

Semua grup siklik adalah grup komutatif

 

Bukti:

Misal G grup siklik dan a adalah pembangun G yakni G = <a>, G= {an | n Є }


Lemma 7.1 ( Algoritma Pembagian di )


Teorema 7.2

Subgrup dari suatu grup siklik juga siklik.

Bukti :

Misalkan G grup siklik dan pembangun G maka notasinya G = <a>

Ambil H sebarang subgroup dari G

Adit : H = <b>
siklik

 

Jika H = {e} maka H = <e> jelas by.definisi subgroup

Andaikan H = {e} maka an Є H, n Є

Ambil m Є ≧ ℕdimana m adalah bilangan asli terkecil,

Klaim b = am pembangun H, notasinya H = <b>

Misal, c Є H maka untuk dapat ditulis

By Lemma 7.1 maka,


Karena m bilangan asli terkecil, am Є H maka berdasarkan Lemma diatas 0 ≤ r < m , maka haruslah r = 0


By definisi subgroup maka b adalah pembangun H


 

7.2 Klasifikasi Grup Siklik

Misalkan G adalah grup siklis dengan pembangun a.

 

KASUS I.

G memiliki tak hingga elemen, sehingga order dari g adalah tak hingga. Klaim bahwa tidak ada dua bilangan asli k dan l sehingga memberikan elemen ak dan al yang sama dari G.

Andaikan ak = al dan asumsikan l > k maka dimana l – k < 0

 

Misalkan m adalah bilangan asli terkecil sehingga am = e Klaim bahwa G hanya terdiri dari elemen-elemen berikut . Misalkan an Є
G maka berdasarkan Lemma 7.1 kita dapatkan q dan r sehingga

Kemudian

Dimana 0 ≤ r < m ini berarti G hingga dan ini kontradiksi dengan asumsi untuk kasus I, akibatnya semua an berbeda untuk setiap n bilangan asli.

 

KASUS II.

G punya order hingga. Dalam kasus ini tidak semua bentuk pangkat positif dari pembangan G, misal a, berbeda, jadi untuk suatu k,h kita pasti mendapatkan ak = ah Meniru argument pada kasus 1, kita dapatkan bilangan asli terkecil m sehingga am = e akibatnya grup G hanya terdiri dari yang berbeda semuanya.

 

 

Definisi

Misalkan n bilangan bulat positif dan h, k sebarang bilangan bulat, sehingga h + k = nq + r untuk 0 ≤ r < n adalah JUMLAH MODULO n dari h & k.

 

Teorema 7.3

Himpunan {0, 1, 2, …, n-1} adalah grup siklik dari n dengan operasi jumlah modulo.

 

Teorema 7.4

Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dibangun oleh a. Misalkan b Є G, dan misalkan b=as maka b membangun subgrup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, dimana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.

 

Bukti.

b membangun subgrup H. Kita akan tunjukkan bahwa jumlah elemen dari H memiliki elemen sebanyak pangkat terkecil b yang menghasilkan e. Sekarang kita punya b = as dan bm = e jika dan hanya jika (as)m = asm = e jika dan hanya jika n membagi ms. Jika d adalah bilangan yang membagi n dan s, maka pada ekspresi n = d(n/d), faktor d dari n akan membagi faktor s dari ms.

Tidak ada faktor prima dari n/d yang bisa digabungkan dengan d sehingga tetap membagi s, karena d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s. Sehingga n/d merupakan faktor dari m, jadi m terkecil yang bisa memenuhi adalah m = n/d.

 

Akibat 7.2    

Jika a adalah pembangun dari subgrup siklik hingga G yang berorder n, maka pembangun yang lain dari G adalah ar dimana r dan n relativ prim, yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1.

 

KELOMPOK IV:

Qomaria Sinta Sari    : G1D007038

Diah Meidatuzzahra    : G1D008007

Hullaemi    : G1D008019

Indah Ika Trian Putri    : G1D009012

Dwi Made Synansari    : G1D009008

 


0 Responses to “GRUP SIKLIK”



  1. Leave a Comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s


1_502554913l

Current CO2 Level in the Atmosphere

yang sudah mampir

  • 200,745 gamatika-ers

Kategori Tulisan

No Smoking

Lagi Online

Arsip

April 2011
M T W T F S S
« Mar   May »
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930  

%d bloggers like this: