24
Mar
11

SUBGRUP


Definisi

Jika G
suatu grup yang hingga, maka order dari G, yang disimbolkan dengan

adalah jumlah anggota dari G. Secara umum, untuk sebarang himpunan hingga S, maka

adalah jumlah anggota S.

Subset Dan Subgrup

Definisi Subset

Himpunan B adalah subset dari himpunan A dinotasikan dengan

semua anggota B ada di A. Notasi

digunakan untuk kondisi

Berdasarakan definisi di atas,

adalah subset dari A.

Definisi

Jika A adalah suatu himpunan maka A adalah subset tidak sejati dari A. dan subset lain selain A dikatakan subset sejati dari A.

Definisi Misalkan G adalah suatu grup dan misal S adalah subset G. Jika setiap

dimana ab yang merupakan hasil perkalian menggunakan operasi di G tetap di S, maka S
dikatakan tertutup terhadap operasi pada  G.

Jadi kita punya operasi di S yang didefinisikan sebagai operasi yang diinduksi dari G.

Sekarang kita bias membuat konsep sebuah grup yang termuat dalam grup lain.

Definisi Subgrup

Jika H adalah subset dari grup G tertutup terhadap operasi pada G, dan H itu sendiri adalah grup terhadap operasi yang diinduksi dari G, maka H adalah subgrup dari G. Kita notasikan dengan H dimana H ≤ G atau G ≥ H untuk menyatakan H subgroup dari G, dan notasi H < G atau G > H untuk menyatakan H ≤ G atau H ≠ G.

contohnya, ⟨𝕫, +⟩ < ⟨ ℝ, +⟩ tapi ⟨ℚ⁺, +⟩ bukan subgroup ⟨ ℝ, +⟩ walaupun sebagai himpunan ℚ⁺ ⊂ ℝ. Setiap grup G memiliki subgroup sendiri dari {e}, dimana e adalah unsure identitas G.

Kenapa ⟨ℚ⁺, +⟩ dikatakan bukan subgroup dari G?

Jawabannya sangat sederhana, karena anggota dari ⟨ℚ⁺, +⟩ tidak ada 0 sehingga ⟨ℚ⁺, +⟩ tidak memiliki identitas sedangkan ⟨ ℝ, +⟩ memiliki identitas maka kesimpulannya ⟨ℚ⁺, +⟩ bukan merupakan subgroup dari ⟨ ℝ, +⟩.

Definisi: Jika G suatu grup, maka G adalah subgrup tidak sejati dari G. semua subgrup yang lain adalah adalah subgrup sejati dari G. dan juga {e} adalah subgrup trivial dari G, semua subgrup lain adalah subgrup tak trivial.

Misalnya, ⟨𝕫, +⟩ merupakan subgrup tidak sejati dari ⟨𝕫, +⟩ dan subgrup sejati dari ⟨ ℝ, +⟩.

Dari definisi kita dapat menjelaskan apa yang dimaksud dengan subgrup tidak sejati, subgrup sejati, trivial, dan tak trivial.

Diagram lattice

Diagram lattice digunakan untuk menggambar subgroup-subgrup dari suatu grup. Dalam diagram lattice garis kebawah dari grup G ke H mengindikasikan H < G. sehingga grup terbesar terletak di puncak.

Perhatikan bahwa jika H ≤ G dan a ∈ H, kemudian berdasarkan teorema 3.2 persamaan ax = a pasti mempunyai solusi tunggal, yakni identitas H. tapi persamaan tersebut bisa dipandang sebagai persmaan di G juga , tapi kita lihat juga persamaan ini juga memiliki solusi identitas di G. argument serupa bisa diaplikasikan dipersamaan ax = e dilihat sebagai persamaan di H dan di G, dimana balikan a-1 dari a di G juga merupakan balikan a di H.

Teorema 4.1

Suatu subset dari grup G, namakan H, adalah suatu subgrup dari G jika dan hanya jika:

1) H tertutup terhadap operasi di G.

2) Unsur identitas e dari G ada di H.

3) Untuk semua a Є H, maka a-1 ada di H juga.

Bukti:

Berdasarkan definisi subgrup, H merupakan grup terhadap operasi yang diinduksi dari G. Untuk setiap a, b, c Є H berlaku sifat asosiatif:

a(bc) = (ab) c

Kita dapat memandang persamaan tersebut sebagai persamaan yang juga berlaku untuk setiap anggota G. Jadi H tertutup terhadap operasi di G.

Untuk menunjukkan H memuat e, yaitu unsur identitas dari G, kita misalkan x sebarang anggota H. Berdasarkan kondisi (3), terdapat x-1 Є H sedemikian sehingga

e = xx-1 Є H

Karena kondisi (1), (2), dan (3) terpenuhi, maka terbukti H merupakan subgrup dari G.

SUBGRUP SIKLIK

Misal G adalah suatu grup dan a є G. Berdasarkan teorema sebelumnya, subgrup yang memuat a haruslah memuat aa yang dinotasikan dengan a2, kemudian memuat a2a yang dinotasikan dengan a3 atau secara umum haruslah memuat an yang merupakan hasil perkalian a dengan dirinya sebanyak n kali untuk setiap bilangan bulat positif n (dalam notasi penjumlahan ditulis dengan na). Kumpulan semua pangkat positif a memeberikan himpunan yang tertutup atas perkalian. Subgrup yang memuat haruslah juga memuat a-1, a-1a-1 yang dinoyasikan dengan a-2 atau secara  umum memuat a-m untuk semua m є Z+ dan juga memuat unsur identitas e=aa-1. Jadi dapat disimpulkan bahwa subgrup G yang memuat a haruslah memuat semua unsur an ( atau na untuk operasi penjumlahan) untuk semua n є . Jadi subgrup yang memuat a haruslah memuat {an| n є  }.

Teorema 4.2

Misalkan G suatu grup, dan a є G maka:

H = { an| n є }

Adalah subgrup dariG. Dan H adalah subgrup terkecil yang memuat a yakni semua subgrup yang memuat a memuat H.

PROOF:

Untuk membuktikan teorema di atas kita gunakan ketiga kondisi pada teorema 4.1 yaitu untuk membuktikan H suatu subgrup dari G. Ambil as, at є H maka asat = as+t untuk semua s,t є sehingga perkalian dua unsur di H tetap ada di H. Ini menunjukkan H tertutup terhadap perkalian di G. Juga a0 = e, sehingga e є H dan untuk ar є H maka a-r є H maka ara-r = a0 = e. Jadi semua kondisi pada teorema 4.1 terpenuhi. Akibatnya H adalah subgrup dari G. Selanjutnya akan ditunjukkan  bahwa H adalah subgrup terkecil yang memuat a. Andaikan ada subgrup K atas G yang memuat a. Karena a1 = a є H dan an є H untuk setiap n є berakibat a є H K untuk setiap subgrup K atas G yang memuat a. Jadi H merupakan subgrup terkecil yang memuat a.

Definisi

Grup H pada teorema 4.2 dinamakan subgrup siklik dari G yang dibangun oleh a, dan disimbolkan dengan <a>.

Definisi

Unsur a pada grup G dikatakan membangun G dan a adalah pembangun G jika <a>=G. Sebuah grup G dikatakan siklik jika terdapat unsur a є G yang membangun G.

Silahkan lihat contohnya disini

dan jg di  http://aprians09.wordpress.com/2011/03/24/contoh-soal-subgrup-3

http://warny123.wordpress.com/2011/03/27/contoh-soal-dan-pembahasan-subgrup/

http://ratnarianthi.wordpress.com/2011/03/24/subgrup-soal-dan-pembahasan/


0 Responses to “SUBGRUP”



  1. Leave a Comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s


1_502554913l

Current CO2 Level in the Atmosphere

yang sudah mampir

  • 200,745 gamatika-ers

Kategori Tulisan

No Smoking

Lagi Online

Arsip

March 2011
M T W T F S S
« Feb   Apr »
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031  

%d bloggers like this: