15
Mar
11

GRUP

Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner. Suatu operasi dapat dikatakan biner jika dua buah unsur dalam suatu himpunan dioperasikan maka akan menghasilkan unsur tunggal yang masih berada dalam himpunan itu. Asal-usul mengenai grup berawal dari pemikiran Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang kini terpecahkan secara radikal.

Dari beberapa referensi , dapat disimpulkan bahwa definisi dari grup adalah…

Bila Diketahui G merupakan suatu himpunan dan operasi biner pada G. Himpunan G disebut grup terhadap operasi jika dan hanya jika memenuhi keempat aksioma berikut :

1. G bukan merupakan himpunan kosong

2. Untuk setiap a,b,cG berlaku (a b) c = a (b c) ( Asosiatif )

3. Terdapat eG sehingga untuk setiap aG berlaku e a = a e = a di mana e merupakan unsur identitas untuk operasi * pada G.

4. Untuk setiap aG terdapat a ‘G sehingga berlaku
a
a ‘ = a ‘ a = e
di mana a’ merupakan invers dari a terhadap operasi * .

Ada beberapa teorema yang menguatkan definisi grup itu sendiri adalah sebagai berikut :

TEOREMA 1

” Jika G grup dengan operasi #, maka hukum pembatalan kiri dan kanan berlaku di G, yakni a#b=a#c berakibat b=c, dan b#a = c#a berakibat b=c.

Bukti :

Misalkan a#b = a#c , maka menurut sifat ketiga grup terdapat a’ di G, dan a’# ( a # b ) = a’ # ( a #c )

Berdasarkan difat asosisatif berlaku

( a’ # a ) # b = ( a’ # a ) # c

Kemudian berdasarkan definisi a’ yang bersifat a’ # a = e, maka berlaku

e # b = e # c

Lalu berdasarkan definisi e, maka berlaku

b = c

TEOREMA 2

“Jika G sebuah grup dengan operasi #, dan jika a,b adalah sebarang anggota G, maka persamaan linier a#x=b dan y#a=b memiliki solusi yang tunggal

Bukti :

Perhatikan bahwa berdasarkan sifat asosiatif,

a # ( a’ # b ) = ( a # a’ ) # b

lalu, berdasarkan definisi a’

a # ( a’ # b ) = e # b

kemudian berdasarkan sifat e, maka berakibat

a # ( a’ # b ) = b

untuk membuktikan solusinya tunggal, kita misalkan y’,y” adalah solusi persamaan linier y # a = b,

maka kita peroleh y’ # a – b dan y” # a = b. Akibatnya y’ # a = y” # a.

dan berdasarkan teorema 1 didapat y’ = y”

GRUP ABELIAN

Suatu grup dikatakan Abelian jika operasinya bersifat komutatif.

Contoh dari grup abelian adalah Himpunan Z terhadap operasi + adalah sebuah grup. Semua sifat dan kondisi grup dipenuhi oleh Z, bahkan Z merupakan grup abelian.

TEOREMA 3

“dalam grup G dengan operasi #, terdapat hanya satu unsur identitas e sehingga

e # x = x # e = x

Untuk semua x € G. Dan untuk semua x € G, terdapat hanya satu unsur a’€ G sehingga

a # a’ = a’ # a = e

Dengan perkataan lain unsur identitas dan balikan itu tunggal pada grup G.

GRUP HINGGA DAN TABEL GRUP

Grup hingga adalah grup yang anggota-anggotanya berjumlah berhingga.

Sama halnya seperti operasi biner, grup juga bias dibuktikan dengan menggunakan tabel. Berikut contoh tabel grup.

  1. Diberikan G={e, a, b} dan # merupakan operasi biner di G  
# e a b
e e a b
a a b e
b b e a

Merupakan contoh grup hingga yang disajikan dengan tabel grup.

  1. Diberikan tabel berikut.  
# e a b
e e a b
a a e a
b b b e

Himpunan dengan operasi # yang disajikan dalam tabel tersebut bukan sebuah grup.

Perhatikan b#a=b#e berakibat a=e (berdasarkan teorema pembatalan kiri dan kanan), sedemikian hingga identitasnya tidak tunggal.

Tambahan :

Himpunan Matrik 2×2 dengan det (M2×2)≠0 terhadap operasi perkalian membentuk grup, dan grup ini termasuk contoh grup yang tidak abelian.

Himpunan R* (Real tanpa nol) terhadap operasi perkalian merupakan sebuah grup karena semua sifat dan kondisi grup terpenuhi di R*.

contoh yang lain


SIMPULAN

Suatu himpunan yang tak kosong merupakan suatu grup jika memenuhi 4 hal yaitu :

1)  Bersifat tertutup terhadap operasi yang diberikan.

2)  Bersifat komutatif.

3)  Memiliki unsur identitas.

4)  Tiap unsur dalam himpunan memiliki invers yang juga merupakan unsur dari himpunan itu.

5)  Suatu grup dapat disebut grup abelian jika untuk setiap unsur di G memenuhi ab = ba .

6)  Grup belum tentu merupakan grup abelian.

kelompok 2 :

Arif Firmansyah ( G1D 008 003 )
Alia Sabena Martadiana ( G1D 009 052 )
Lina Mardikawati ( G1D 009 035 )

Erny Malina (G1D006021)


0 Responses to “GRUP”



  1. Leave a Comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s


1_502554913l

Current CO2 Level in the Atmosphere

yang sudah mampir

  • 200,745 gamatika-ers

Kategori Tulisan

No Smoking

Lagi Online

Arsip

March 2011
M T W T F S S
« Feb   Apr »
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031  

%d bloggers like this: