PEMBAGI NOL
Definisi:
Misalkan R suatu ring (gelanggang) dan 
maka
- a disebut elemen pembagi nol kiri jika
sehingga ab = 0
- a disebut elemen pembagi nol kanan jika
sehingga ba = 0
jadi dapat disimpulkan, pembagi nol adalah jika pada suatu ring R, 
dan 
sehingga ab = ba= 0
a disebut elemen bukan pembagi nol jika 
atau 
apabila R mempunyai elemen satuan e, maka e bukan pembagi nol, karena 
Teorema:
Jika a dan b bukan pembagi nol ring R maka ab bukan pembagi nol.
Bukti:
Diberikan a dan b bukan pembagi nol. Akan dibuktikan ab bukan pembagi nol.
Andaikan ab merupakan pembagi nol (kiri), maka terdapat 
sedemikian sehingga (ab)c = 0.
Tetapi (ab)c = a (bc)
Karena a bukan pembagi nol dan a(bc) = 0 maka bc = 0.
Karena b bukan pembagi nol dan bc = 0 maka c = 0.
Kontradiksi dengan pengandaian bahwa 
.
Maka pengandaian salah, jadi c haruslah 0 yang berarti ab bukan pembagi nol.
HUKUM PEMBATALAN
Teorema:
Jika D adalah daerah integral dan 
.
Bukti:
Diberikan 
ab = ac
ab – ac = 0
a ( b – c ) = 0 karena 
, maka
b – c = 0
b = c
bukti di atas merupakan hukum pembatalan kiri.
Karena perkalian bersifat komutatif dalam suatu daerah integral,
maka hukum pembatalan kiri ekuivalen dengan hukum pembatalan kanan.
Hukum pembatalan kanan:
Jika 
dan ba = ca maka b = c.
Diberikan 
ba = ca
ba – ca = 0
( b – c ) a = 0 karena 
, maka
b – c = 0
b = c
DAERAH INTEGRAL
Definisi :
Suatu ring komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol disebut daerah integral atau integral domain.
Suatu struktur aljabar dengan 2 operasi biner (R, +, .)dikatakan suatu daerah integral bila:
- tertutup terhadap penjumlahan ( R, + ) dan perkalian ( R, . )
- komutatif terhadap penjumlahan ( R, + ) dan perkalian ( R, . )
- assosiatif terhadap penjumlahan ( R, + ) dan perkalian ( R, . )
- tidak punya pembagi nol
- punya unsur identitas pada penjumlahan ( R, + ) dan perkalian ( R, . )
- punya invers atau balikan pada penjumlahan ( R, + )
- distributif perkalian terhadap penjumlahan
-
KARAKTERISTIK GELANGGANG
Definisi:
R adalah gelanggang jika terdapat bilangan bulat positif terkecil n dimana n.a = 0, 
maka n dikatakan karakteristik gelanggag R.
Jika tidak terdapat 
maka dikatakan berkarakteristik 0.
KARAKTERISTIK DAERAH INTEGRAL
Teorema:
Jika D suatu daerah integralmaka karakteristik D adalah 0 atau suatu bilangan prima.
Bukti:
Anggap bahwa karakteristik D adalah n dimana 
Diberikan e adalah suatu unsur pada D, kita harus punya n > 1
Akan dibuktikan bahwa n prima.
Berdasarkan kontradiksi n tidak prima
n = r . s , 
, 1 < r < n dan 1 , s < n
n . e = 0 ↔ ( r . s ) e = 0
( r e ) ( s e ) = 0
(r e ) dan ( s e ) adalah pembagi nol pada D, jadi n haruslah prima.
)
Komentarmu