Sepuluh kiat Mahasiswa Komputasi Matematika untuk Berwirausaha

Q: ‘Selama kuliah kan kita sebagai mahasiswa nggak sempat latihan berbisnis. Padahal aku tuh pinginnya begitu lulus langsung bisa mandiri alias bikin perusahaan sendiri. Gimana ya caranya.’
Q: ‘Aku ini kutu kupret mas, mahasiswa komputasi matematika tapi kemampuan coding lemah. Kalau buat-buat desain sih lumayan mas, photoshop dan coreldraw itu peganganku tiap hari. Aku mimpi pingin berbisnis sendiri, cuman nggak ngerti gimana dan apa yang harus aku pelajari sekarang. Bantu aku dong mas.’

Top Jurusan dengan Prospek Gaji Tertinggi: Matematika Salah Satu Yang Terbaik

Pernahkah kamu merasa di indonesia itu semua orang sangat menginginkan kuliah di kedokteran karena berharap dapat gaji tinggi…? Well data dan fakta menunjukkan bahwa lulusan matematika menempati top lulusan dengan gaji tertinggi, sementara kedokteran bahkan diluar 20 besar.

HOMOMORFISMA

Definisi homomorfisma :

Jika G suatu grup dengan operasi * dan G’ suatu grup dengan operasi # maka pemetaan  f : G → G’ disebut  homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap a, b ϵ G berlaku

f ( a * b ) = f(a) # f(b)

Definisi diatas juga dapat ditulis f (ab)= f(a) f(b), pada ruas kiri menggunakan operasi pada G dan pada ruas kanan menggunakan operasi pada G’ . Dari definisi tersebut, mungkin anda mengira bahwa homomorfisma sama dengan isomorfisma, namun pada kenyataannya tak selalu sama. Perbedaan antara homomorfisma dan isomorfisma dapat kita lihat dari contoh-contoh berikut ini :

*)         Misalkan G grup bilangan real dengan operasi penjumlahan pada bilangan -bilangan real, dan G’ grup bilangan real dengan  operasi penjumlahan pada bilangan – bilangan real.

Definisikan f : G → G’ , dengan f(x)=3a untuk setiap x ϵ G.

Perhatikan bahwa G dan G memiliki operasi biner yang berbeda.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ G berlaku f (ab)= f(a) f(b)

Tetapi hal ini tidaklah sulit dilakukan, karena

f(a+b) = 3(a+b) = 3a +3b = f(a)+f(b) = f(a)f(b)

Jadi, f suatu homomorfisma.

Kita peroleh juga bahwa f bukan fungsi dari G pada G’. karena 3a selalu bernilai positif untuk bilangan real x berapa pun, akan tetapi f satu-satu, karena jika x,yÎG sebarang sedemikian sehingga f(x) = 3x = 3y = f(y), maka x = y .

Homomorfisma yang besifat satu-satu disebut momorfisma.

*)         Misalkan :        G  grup bilangan real dengan operasi penjumlahan dan

G’  ={ 0,1, 2, ……, n-1} adalah grup dengan operasi  penjumlahan.

Definisikan f :  G →G’  , dengan f(a) =[a] untuk setiap a ϵ G.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ  G berlaku f (ab)= f(a) f(b), maka

f (a+b) = [a +b ] = [a] + [b] = f(a) f(b)

Jadi f suatu homrfisma.

Dapat kita lihat bahwa f merupakan fungsi pada dari Z pada _, karena setiap [a] ϵ G’ pasti mempunyai pra peta pada G .

Homomorfisma yang bersifat pada disebut epimorpisma

*)         Misalkan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan – bilangan real, dan G’ grup bilangan real dengan operasi penjumlahan pada bilangan -bilangan real.

Definisikan f : G →G’, dengan f(x) = ln x  untuk setiap x ϵ G.

Perhatikan bahwa G danG’ memiliki operasi biner yang berbeda.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ G. berlaku f (ab)= f(a) f(b), maka

f (ab)= ln ab= ln a + ln b = f (a) f (b)

Jadi f terbukti homomorfisma.

Jika f(x) = f(y) akibatnya ln x =ln y sehingga x=y. ini menunjukkan f adalah fungsi satu-satu.

Jika ln r ϵ G maka r ϵ G’ , kemudian f(r) = ln r. Sehingga f bersifat pada.

Karena  f  bersifat pada dan satu-satu maka f bersifar bijektif, akibatnya f  isomorfisma.

Cotoh 3 ini menunjukkan isomorfisma pasti homomorfisma tapi homomorfisma belum tentu isomorfisma.

Teorema :

Jika  f  suatu homomorfisma dari grup G ke  grup G’, maka :

(i)                 f (e) = e’, dimana e ϵ G dan e’ ϵ G’

(ii) untuk setiap a ϵ G

 

Bukti :

(i)     Misalkan f  suatu homomorfisma dari grup G ke grup G’, untuk setiap a ϵ G berlaku ae = a maka f (a) f(e ) = f (ae) = f (a) = f (a)e’

Akibatnya  f (a) f (e) = f (a) e’

Berdasarkan pembatalan kiri dan kanan maka f (e) = e’

(ii)  Untuk setiap a ϵ G berlaku maka sehingga

akibatnya

□

Teorema :

Jika f suatu homomorfisma dari grup G ke grup G’, maka daerah hasil dari f  yaitu f (G) untuk setiap a ϵ G adalah subgrup G’.

 

Bukti :

Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke grup G’,

maka daerah hasil dari f  yaitu  f (G) = { x ϵ G’ çx =f (a), a ϵ G}

misalkan f (G)=H, maka H Ì G’

karena f (e) = e’ maka e’ ϵ H

akibatnya H suatu kompeks dari G’.

Ambil sebarang x, y ϵ H maka ada a, b ϵ G sedemikian hingga f (a) = x dan f (b)= y

sehingga Karena a,b ϵ G dan G suatu grup maka 

sehingga jadi

Ini berarti H adalah subgrup dari G’.

□

Contoh:

Misalkan  Z grup bilangan real dengan operasi penjumlahan.

Definisikan f : Z → Z , dengan f(x) = 2a untuk setiap x ϵ Z.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ Z_n berlaku f (ab)= f(a) f(b), maka

f (a+b) = 2 (a+b) =2a +2b = f(a) f(b)

Jadi f suatu homorfisma.

Dari definisi f(x) = 2a maka daerah hasil dari f = { 0, 2, 4, ………} = 2Z

2Z adalah subgrup dari Z.

KERNEL DARI HOMOMORFISMA

Definisi:          misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam f (Kf) adalah himpunan semua x ϵ G yang dipetakan olek  f  ke e’ dimana e’ meupakan unsur identitas dalam G’ atau Kf = { x ϵ G ç f(x) ϵ e’ }.

Contoh:           (Z,+) yaitu grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan.

Pemetaan f : Z → Z didefinisikan f(x)= mx untuk setiap x elemen G dan m suatu bilangan bulat, maka f  adalah suatu homomorfisma dan kernel dari (Z,+)  tersebut adalah {0}.

Teorema:

Misalkan f  homomorfisma dari grup G ke G’ dengan kernel K, maka K adalah subgrup normal dari G.

 

Bukti:

Pertama akan ditunjukkan bahwa K subgrup dari G.

misakan x,y ϵ K maka f(x)=e’ dan f(y)=e’

sehingga f(xy)= f(x) f(y)= e’ e’= e’ dimana xy ϵ K (sifat tertutup).

Selanjutnya

jadi

ϵ K (sifat invers).

Untuk menunjukkan sifat normal, ambil g ϵ G dan k ϵ K maka:

diperoleh

ϵ K sehingga K subgrup normal dari G.

□

HOMOMORFISM NATURAL

Setiap homomorfisma pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup factor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari domain homomorfisma ke grup  factor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisma baru yang disebut homomorfisma natural

Theorema :

Mislkan G suatu grup dan N adalah subgroup normal di G, di definisikan suatu pemetaan f  dari G ke grup factor G/N.

f : G → G/N dimana 

, untuk setiap x є G. maka f  adalah homomorfisma dari G yang bersifat pada.

Bukti :

Misal x,y є G sebarang

Maka  

Jadi, f  homomorfisma

Tunjukkan pada / surjektif

Ambil sebarang y є G/N

Maka

untuk suatu y є G

sdemikian hinga Jadi, homomorfisma f  pada

□

 

TEOREMA FUNDAMENTAL HOMOMORFISMA

Jika f suatu homorfisma dari grup G ke dalam grup G’  dengan kernel K,maka terdapat suatu isomorfisma dari G/K  ke dalam G’.

BUKTI

Misalkan f  fungsi dari G pada G’ dengan pengaitan f : G → G’ untuk setiap x ϵ G.,dan g fungsi G  ke dalam G/K  dengan pengaitan g : x → Kx untuk setiap x ϵ G dan kernel dari g adalah K.

Sekarang bangun fungsi h dari G/K  ke dalam G’  dengan pengitan h : Kx → f(x)  untuk setiap x ϵ G.

Perhatikan diagram berikut

Pengaitan f.g dan h digambarkan seperti gambar berikut

Akan ditunjukkan bahwa h adalah suatu homomorfisma dan satu-satu (isomorfisma) dari G/K  ke dalam G/K.

Pertma-tama kita akan menunjukkan bahwa h merupakan pemetaan,dalam arti kita akan menunjukkan bahwa pengaitan untuk h : Kx → f(x)  terdefinisi dengan baik (well defined).

SOAL

1)      Misalkan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan – bilangan real, dan G’ grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan – bilangan real.

Definisikan f : G → G’ , dengan f(x)=1/a untuk setiap x ϵ G.

morfisma dan tentukan kernelnya !

2)   Misalkan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan – bilangan real, dan G’ grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian ada bilangan – bilangan real.

Definisikan f : G → G’ , dengan 

untuk setiap x ϵ G.

Tunjukan f homorfisma dan tentukan kernelnya !

Untuk mengetahui jawaban 2 soal diatas silahkan klik disini http://ismiyusrina09.wordpress.com/2011/05/24/contoh-soal/#more-282

3) Misalkan G grup semua matriks real 2 x 2 yang berbentuk

sehingga ad ≠ 0, dengan operasi perkalian matriks-matriks.

Misalkan juga G’  grup bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian. Definisikan  f : G → G’ denganuntuk setiap ϵ G. Carilah kernel dari matriks tersebut !!     pada operasi jumlah.

Untuk mengetahui jawaban soal diatas silahkan klik disini http://ismiyusrina09.wordpress.com/2011/05/25/soal-junet/#more-296

4) Tunjukan bahwa f homomorfisma dan pada ! (contoh soal homomorfisma natural)

Untuk mengetahui jawaban soal diatas silahkan klik disini http://ismiyusrina09.wordpress.com/2011/05/25/soal-no-4/#more-303

4)      Tunjukkan bahwa sembarang grup siklik adalah isomorfisma baik terhadap integer Z atas penjumlahan,ataupun terhadap  intger atas penjumlahan modulo m ! (contoh soal teorema homomorfisma fundamental)

Untuk mengetahui jawaban soal diatas silahkan klik disini http://ismiyusrina09.wordpress.com/2011/05/25/teorema-fundamental-homomorfisma/#more-311

KELOMPOK 10 :

• FIPIT MELAWATI                         ( G1D 006 026 )
• RAJIATUL HIDAYAH                   ( G1D 007 040 )
• ISMI YUSRINA MUHTI                ( G1D 009 006 )
• MUHAMAD JUNAIDI                    ( G1D 009 034)

Subgrup Normal dan Grup Kousien

Automorfisma

Isomorfisma ф : G→G, yaitu isomorfisma dari G ke dirinya sendiri disebut

automorfisma pada G.

Contoh : (R,+), ф : R→R, ф(x)=3x

(R⁺,·), ф : R⁺→ R⁺, ф(x)=x²

A(G) : himpunan semua automorfisma pada G

Operasi pada A(G)

× : A(G)×A(G)→A(G)

Definisi × : (α,β)→αβ ,α,β Є A(G)

Teorema :

A(G) terhadap komposisi, membentuk Grup

Bukti:

Terbukti bahwa A(G) terhadap komposisi, membentuk Grup.

Inner Automorfisma

untuk semua xЄG

disebut automorfisma dalam, selain itu disebut automorfisma luar

(outer automorfisma)

Akan ditunjukkan bahwa suatu automorfisma

Terbukti bahwa λa suatu isomorfisma, karena λa : G→G maka λa automorfisma

I(G) : himpunan semua automorfisma dalam pada G

I(G) subset A(G)

Akan ditunjukkan bahwa I(G) ≤ A(G)

Terbukti bahwa I(G) ≤ A(G), selanjutnya I(G) membentuk subgrup normal pada A(G).

Subgrup Normal

Definisi Subgrup Normal

Misalkan H adalah suatu Subgrup dari Grup G, maka Subgrup H dikatakan

Subgrup Normal dari G ( ditulis) bila untuk setiap .

Ekivalen dengan definisi di atas, H adalah Normal jika untuk setiap g elemen G,

yakni, jika Koset Kiri dan Kanan dari H sarna.

Catatan : Apabila G grup abelian, maka setiap subgrup dari G adalah subgrup normal.

Beberapa teorema yang berkaitan dengan definisi subgroup normal

Teorema 1

Misalkan H subgroup dari G, maka H disebut subgroup normal dari G ( ditulis)

jika dan hanya jika , untuk setiap g  € G

Bukti

misal g €G , karena H subgroup normal ( ditulis) by definisi

sehingga

ambil sebarang g € G karena , maka

.

Jadi terbukti H subgroup normal dari G.

Teorema 2

Misalkan H subgroup dari G, maka H disebut subgroup normal dari G

( ditulis) jika dan hanya jika untuk setiap a,b € G.

Bukti

misal H subgroup normal ( ditulis) dan a,b € G.

kita lihat perkalian dua koset kanan yaitu.

Karena H subgroup normal , berarti by definisi .

Maka.

misal g € G , kita pilih , jelas,

diperoleh. Karena H subgroup maka ,

sehingga dengan menggunaka hukum pembatalan kiri

pada Grup maka diperoleh,

sehingga by teorema terbukti bahwa H subgroup normal dari G ( ditulis).

Contoh soal

Misalkan (G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup dan H = {0, 2, 4}

adalah Subgrup dari G. Tunjukan bahwa H merupakan subgroup normal dari G

Penyelesaian :

Telebih dahulu akan ditunjukkan bahwa Koset Kiri dan Kanan dari H sama.

(G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, generatornya 0, 1, 2, 3, 4 dan 5

Koset kiri :

0 + H = 0 + {0, 2, 4} = {0, 2, 4}

1 + H = 1 + {0, 2, 4}= {1, 3, 5}

2 + H = 2 + {0, 2, 4}= {2, 4, 0}

3 + H = 3 + {0, 2, 4}= {3, 5, 1}

4 + H = 4 + {0, 2, 4} = {4, 0, 2}

5 + H = 5 + {0, 2, 4} = {5, 1, 3}

Koset kanan:

H + 0 = {0, 2, 4}+ 0 = {0, 2, 4}

H + 1 = {0, 2, 4}+ 1 = {1, 3, 5}

H + 2 = {0, 2, 4}+ 2 = {2, 4, 0}

H + 3 = {0, 2, 4}+ 3 = {3, 5, 1}

H + 4 = {0, 2, 4} + 4 = {4, 0, 2}

H + 5 = {0, 2, 4} + 5 = {5, 1, 3}

Sehingga :

0 + H = H + 0= {0, 2, 4}

1 + H = H + 1= {1, 3, 5}

2 + H = H + 2 = {2, 4, 0}

3 + H = H + 3 = {3, 5, 1}

H + 4 = H + 4 = {4, 0, 2}

H + 5 = H + 5 = {5, 1, 3}

Maka : koset kiri = koset kanan

sehingga : Subgrup dari H = {0,2,4} merupakan Subgrup Normal

untuk lebih jelasnya latihan soal lagi yuk!!! klik disini

Grup Faktor

Teorema : jika N subgrup normal dari G dan G/N={Na|aG}, maka G/N adalah suatu subgrup

terhadap operasi NaNb=Nab. Selanjutnya G/N disebut grup faktor dari G oleh N.

Bukti: Dari definisi operasi , untuk setiap koset Na dan Nb diG/N hasil operasinya, yaitu hasil kalinya,

kitatuliskan NaNb. Jadi NaNb=Nab.

1. Untuk setiap koset Na, Nb dan Nc di G/N berlaku
   

Na(NbNc)=Na(N(bc))=N(a(bc))=N((ab)c)=(N(ab))Nc=(NaNb)Nc

Jadi, berlaku sifat asosiatif

1. Terdapat koset N=Ne di G/N, dengan e unsur identitas di G, yang memenuhi
   

NaNe=N(ae)=Na dan NeNa=(N(ea)=Na

Untuk semua koset Na di G/N. Dengan demikian terdapat unsur identitas N=Ne elemen

G/N yang bersifat NaNe=NeNa untuk semua Na elemen G/N.

1. Untuk setiap koset Na di G/N terdapat koset N(a^-1)
   di G/N yang memenuhi
   

NaN(a^-1)=N(a a^-1)=Ne dan N(a^-1)Na=N(a^-1a)=Ne

Jadi setiap koset Na elemen G/N mempunyai balikan (Na)^-1=N(a^-1)

Dari 1,2 dan 3 kita simpulkan bahwa G/N membentuk grup.

Contoh: G={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan x mod 11 adlah grup normal. N={1, 10}

subgrup normal dari G. G/ N={N1,N2,N3,N4,N5}. Ingat bahwa

N1=N=N10, N2=N9={2,9}, N3=N8={3, 8}, N4=N7={4,7}, N5=N6{5,6}.

Tabel Cayley dari G/N tampak pada tabel di bawah.

Dengan memperhatikan tabel tersebut, maka kita dapat menunjukkan bahwa

G/N memenuhi semua aksioma dari grup.

Tabel Cayley: G/N={N1, N2, N3, N4, N5}

	N1	N2	N3	N4	N5
N1	N1	N2	N3	N4	N5
N2	N2	N4	N5	N3	N1
N3	N3	N5	N2	N1	N4
N4	N4	N3	N1	N5	N2
N5	N5	N1	N4	N2	N3

Teorema: jika G suatu grup berhingga dan N subgrup normal daari G, maka

Bukti: , banyaknya koset kanan dari N dalam G.

Menurut teorema langrange, karena G grup berhingga dan subgrup dari G, maka

maka

Grup Sederhana

Definisi :

Suatu grup G dikatakan sederhana
jika subgrup Normalnya hanyalah {e} dan G itu sendiri.

Dimana definisi dari subgroup normal yaitu

Definisi :

Diberikan grup G dan H subgrup dari G, subgrup H dikatakan normal jika berlaku

Grup sederhana berhingga (Finite simple Group), yaitu Grup sederhana yang banyak elemennya berhingga.

Grup sederhana berhingga memepunyai sifat-sifat yang serupa dengan Bilangan Prima.

Kita tahu bilangan Prima mempunyai sifat sebagai berikut:

1. Tidak bisa difaktorkan menjadi bilangan-bilangan yang lebih kecil
   
2. Setiap bilangan bulat yang lebih besar dari satu merupakan perkalian
   

   dari bilangan-bilangan prima yang berbeda.
   

Begitu pula dengan Grup sederhana berhingga yang memmpunyai sifat-sifat sebagai berikut

1. Tidak bisa dipecah menjadi grup-grup yang lebih kecil.
   
2. Setiap Grup berhingga berorder lebih dari 1 merupakan gabungan dari Grup-grup sederhana berhingga yang berbeda
   

Contoh :

apakah grup terhadap operasi perkalian merupakan grup sederhana??

Jawab:

Sesuai dengan definisi grup sederhana

” jika subgrup Normalnya hanyalah {e} dan G itu sendiri maka G dikatakan grup sederhana”

Pada kasus ini, grup terhadap operasi perkalian bukan grup sederhana karena tidak bisa

memenuhi syarat dari subgroup normal yaitu koset kiri tidak sama dengan koset kanan

Bukti

Misal A € dimana

A =

Adib :

Sesuai dengan matrik terbukti bahwa ( matrik tidak bersifat asosiatif terhadap operasi perkalian ).

Biar lebih mengerti klik disini untuk  melihat contoh-contoh soalnya

kalau belum jelas coba lagi klik disini

KELOMPOK 9

Donny sutrisna amijaya G1D009053

Mujamil hasan G1D009009

Agus kurniawan G1D009033

Helmina fitriani G1D007014

KOSET

Hai-hai para bloger ^^

Kami dari kelompok 8 akan membahas materi KOSET

Sebelum kita memasuki definisi koset akan diperkenalkan definisi koset kanan

dan koset kiri. Akan diperjelas juga dengan memperlihatkan teorema-teorema

yang berhubungan dengan koset.

Cekidot !!

Matematika Sedekah

Wahhh…mudah2an nggak telat nih uplod tgs seminarnya..hehe (sibuk amet euyyy..emang kamana lhoo??)..maklum kan sama nte jg kite2 pada kerjain bejibun tgs. Emang sbagian orang mngatakan matematika tu momok menakutkan (emang serem yaaa??..he). Tapi ada juga yg bgitu senang dan sdikit saklek mungkin dgn matematika. Sampai-sampai nama anak kesayangannya namanya diambil dari salah satu mata kuliah di kampus kami (ada yg ngerasa ngak??..hehe just kidding).

KREATIFITAS TANPA BATAS DI MATEMATIKA

Matematika sering dijadikan korban tanpa pertanggungjawaban. Matematika sebagai tertuduh. Matematika dituduh sebagai sebuah bidang disiplin otak kiri saja. Matematika hanya mengandalkan kemampuan analisis, logika, perhitungan. Matematika dituduh tidak mengembangkan kreativitas, tidak memacu kerja otak kanan yang imajinatif.

Uniknya matematika

Uniknya Matematika

kita tahu matematika sudah terkesan ngeri/rumit dan menuh-menuhin kapasitas otak kita saja,,apalagi ngeliat angka n rumus-rumusnya,,waduuuuuuuuh tambah pusiiiiing…….

Nyatain Cinta-mu pake Logika Matematika !!

 

 

 

 

 

 

 

 

Seorang Pejuang Cinta haruslah tegas, kuat, dan optimis. Jadi jangan mudah menyerah, kejarlah terus cinta sampai negeri China . Di bawah ini adalah premis-premis logika dari suatu percakapan cowok nembak cewek dan makna tersirat yang ada dari ungkapan-ungkapan tersebut:

Check it out…..

Nilai Fungsi Khas 2009/2010