GELANGGANG
Untuk setiap a,b,c anggota R berlaku a(b+c) = ab+ ac atau (a + b)c = ac + bc Definisi gelannggang:
Gelanggang adalah system matematika yang melibatkan 2 operasi ( R,+,x).
(R,+,x) dikatakan gelanggang jika memenuhi :
-
(R,+) membentuk grup komutatif.
Untuk setiap a,b anggota R berlaku a+b = b+a
-
(R,x) bersifat assosiatif .
Untuk setiap a,b,c anggota R berlaku (ab)c = a(bc)
Dan terdapat unsure perkalian 1 R yang berbeda dari 0 bersifat a1=a1=a.
-
(R,+,x) bersifat distributive
Ada beberapa istilah yang berkaitan dengan Z6,Z,Q yaitu
Gelanggang komutatif. Gelanggang R=(R,+,x) yang memenuhi sifat komutatif. ab=ba ,a dan b anggota R.
Daerah integral.gelanggang komutatif D=(D,+,x) yang tidak memuat pembagi nol,yaitu untuk unsur a dan b di D memenuhi ab=0 berlaku a=0 atau b=0.
Lapangan .gelanggang komutatif L=(L,+,x) Yang memuat balikan untuk setiap unsur yang tak nol ,yaitu untuk aL dan a≠0 terdapat L yang memenuhi =1
IDEAL
Definisi:
Misalkan R=(R,+x) suatu gelanggang .sub himpunanan I subset R disebut ideal kiri(ideal kanan) jika:
1.terhadap operasi tambah (I,+) membentuk subgrup dari (R,+)
2.untuk setiap x I dan r R maka berlaku rx Ixr I
Sifat 1.1
Misalkan I suatu subhimpunan tak hampa dari gelanggang R. maka I suatu ideal kiri(ideal kanan) jika dan hanyajika untuk setia[p unsur x dan y di I dan r R berlaku x+y I dan rx I(xr I).
Bukti:
Jika I suatu ideal,menurut definisi di atas jelas berlaku x+y I dan rx I(xr I)
Sebalik nya ,misalkan berlaku x+y I dan ry I(yr I) untuk semua x,y I dan r R.dalam hal ini cukup di buktikan x-y I.
Pilih r=-1 maka y+(-y)=1y+(-1)y=(1-1)y=0y=0
Hubungan ini memberikan (-1(y=-y dengan cara yang sejalan di [eroleh y(-1)=-y.dengan demikian diperoleh x-y=x+(-1)y I,yang menunjukan (I,+) merupakan subgrup dari (R,+).
HOMOMORFISMA GELANGGANG
DEFINISI:
misalkan R dan S adalah gelanggang.
α=pemetaan dari R ke S disebut homomorfisma gelanggang jika untuk setiap unsur a dan b di R berlaku:
1.α(a+b)=α(a)+α(b)
2.α(ab(=α(a)α(b)
3.α()= dimana merupakan unsur kesatuan dari gelanggang R dan S.
Inti homomorfisma
Inti homomorfisma α:R→S di definisi kan sebagai subhimpunan unsur di gelanggang R yang di petakan oleh α menjadi 0. Yaitu
Inti (α)={rI r R,α(r) =0
Sifat:
Inti homomorfisma gelanggang α:R→S membentuk ideal dari R.
Bukti:
α(0)=0
maka inti (α)≠0.ambil unsur x dan y di Inti(α) dan r R.sehingga
α(x+y)=α(x)+α(y)=0
α(ry)=α(r)α(y)=0
α(xr)=α(x)α(r)=0
jadi kita pereoleh x+y,rx, dan xr di inti(α).itu artinya inti(α) membentuk ideal di R.
Gelanggang komutatif
Definisi 1
Suatu Ideal I dari gelanggang komutatif R dikatakan maksimal jika
- I ≠ R
- Jika J suatu ideal dari R yang memuat I dan berbeda dari I, maka J = R
Sesuai dengan fenomena yang berlaku pada lapangan bilangan rasional diatas, kita punya sifat berikut.
Sifat 1. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Maka R suatu lapangan jika dan hanya jika ideal nol bersifat maksimal.
Bukti :
Misalkan R suatu lapangan dan J suatu ideal dari R, J ≠ O. ( ideal nol {0} kita tandai dengan O) a J dan a ≠ 0.Maka kita punya J C{ ra l r R}. Karena R lapangan dan a ≠ 0, untuk r = a-1 kita punya 1 = a-1a J. jadi J = R. ini menunjukkan bahwa ideal nol O bersifat maksimal.
Sebaliknya, misalkan ideal nol O bersifat maksimal dan b R, b ≠ 0. Subhimpunan I = { rb | r R} membentuk ideal di R, dan I ≠ O. karena O ideal maksimal ,maka I = R. terdapat unsure c R yang memenuhi cb = 1. Maka b = 1/c. dengn kata lain , unsure b mempunyai balikan dan ini berlaku untuk semua unsur b R, b ≠ 0. Jadi R sebuah lapangan.
Berdasarkan sifat diatas kita ungkapkan lebih umum,yaitu untuk ideal yang tak perlu nol,dalam teorema berikut.
Teorema 1. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I suatu ideal dari R. maka gelanggang kuosien R/I membentuk lapangan jika dan hanya jika I ideal maksimal.
Bukti :
Misalkan R/I lapangan dan J suatu ideal, I C J (artinya I C J dan I ≠ J ). Ambil unsur a R, a ≠ I dan pandang subhimpunan J' = { x + ra | x I dan r R}. Untuk unsur v1 dan v2 dan J', v1 = x1 + r1a dan v2 = x2 + r2a dengan x1,x2 di I dan r1,r2 di R, dan S R berlaku v1 + v2 = ( x1 + x2) + ( r1 +r2) a J'.Jadi J' suatu ideal dari R.
Unsur a bukan anggota dari I ekuivalen dengan mengatakan a R/I dan a ≠ 0. Karena R/I lapangan , terdapat ba= 1. Kita punya 1 = x + ba dengan x I dan b R.kita peroleh 1 = x + ba J' dan ini memberikan J' = R. akibatnya J = R. Jadi I suatu ideal maksimal di R.
Sebaliknya, misalkan I ideal maksimal. Ambil unsur a R/I yang bukan 0. Ini ekuivalen dengan mengatakan a bukan elemen dari I. seperti diatas, subhimpunan J' = { x + ra | x I dan r R}membentuk ideal di R, I C J dan I ≠ J, karena I ideal maksimal,kita peroleh J' = R. Terdapat unsur x I dan b R yang memenuhi x + ba = 1. Ini memberikan ba = 1. Jadi setiap a R/I ,a ≠ 0 memenuhi balikan dengan kata lain , R/I suatu lapangan.
Untuk karakteristik daerah integral kita perhatikan bahwa daerah integral tidak memuat pembagi nol. Misalkan D suatu daerah integral dan O menyatakan ideal nol. Untuk unsur a dan b di D yang memenuhi ab O senantiasa berlaku a O atau b O. berdasarkan fakta ini kita ketengaahkan definisi berikut
Definisi 2. Suatu ideal I dari gelanggang komutatif R dikatakan prim jika untuk unsure a dan b di R yang memenuhi ab I berlaku a I atau b I.
berkaitan dengan definisi 2 dan fakta diatas kita punya sifat berikut.
Sifat 2. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Maka R suatu daerah integral jika dan hanya jika ideal nol O bersifat prim.
Berdasarkan sifat diatas kita ungkapkan lebih umum dalam teorema berikut.
Teorema 2. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I suatu ideal di R. maka gelanggang kuosien R/I suatu daerah integral jika dan hanya jika I ideal prim.
Bukti :
Misalkan R/I daerah integral. Selanjutnya , misalkan unsur a dan b di R memenuhi ab I. ab = 0. Maka a = 0 atau b = 0. Dengan kata lain a I atau b I. jadi I suatu ideal prim.
Sebaliknya, misalkan I ideal prim. Misalkan c dan d di R/I memenuhi cd = 0. Kita punya cd = 0 atau cd I. karena I ideal prim , maka berlaku c I atau d I ; dengan kata lain c = 0 atau d = 0. Jadi, R/I suau daerah integral.
Dari teorema 1 dan 2 mempunyai akibat seperti kita ketengahkan dalam sifat berikut.
Sifat 3. Setiap ideal maksimal dalam gelanggang komutatif senantiasa bersifat prim.
Bukti:
Misalkan R gelanggang komutatif dan I suatu ideal maksimal dari R. menurut teorema 1, gelanggang kuosien R/I suatu lapangan , jadi R/I juga suatu daerah integral. Menurut teorema 2, ideal I bersifat prim.
DAERAH INTEGRAL SECARA UMUM
Suatu Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol disebut Integral
Domain (Daerah Intergral).
Untuk lebih jelas mengenai syarat-syarat dari Integral Domain
adalah sebagai berikut :
Definisi
Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu
Integral Domain (Daerah Integral) bila :
1. Tertutup terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a dan b adalah anggota R,
maka a dan b tertutup bila a + b ÎR
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a,b,c Î R
maka (a + b) + c = a + (b + c)
3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a Î R
maka a + e = e + a = a
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a Î R
maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a,b Î R
maka a + b = b + a
6. Tertutup terhadap perkalian (.)
Misalkan a dan b adalah anggota R,
maka a dan b tertutup bila a . b ÎR
7. Assosiatif terhadap perkalian (.)
Misalkan a,b,c Î R
maka (a.b).c = a.(b.c)
8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (.)
Misalkan a Î R
maka a.e = e.a = a
9. Komutatif terhadap perkalian (.)
Misalkan a,b Î R
maka a . b = b . a
10. Tidak ada pembagi nol
Misalkan a,b Î R
Jika a.b = 0, maka a = 0 atau b = 0
11. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+)
SUKU BANYAK
Salah satu sifat yang berkaitan dengan suku banyak F[x] kita punyai sift berikut
Sifat:
Untuk setiap suku banyak f dan g di F [x] berlaku :
- Der (f + g) maks {der (f) , der (g)},
- Der (fg) = der (f) + der (g).
Bukti:
Kasus pertama.
Salah satu f atau g adalh suku banyak nol. Misalkan f=0. Karena der(f) = -, maka kita punyai :
- Der (f + g) = der (g) = maks { der(f) ,der (g) }.
- Der (fg)= der (0) = -= – + der (g) = der (f) + der (g).
Kasus Kedua.
Suku banyak f dan g bukan suku banyak nol. Misalkan der (f) =m dan der (g) =n dengan mn. Selanjutnya, misalkan
f= dan g=
1.kita punyai
f+g=.
Kita peroleh der (f + g) = n = maks {m,n}. Dalam hal m=n dan , kita peroleh der (f + g) <m = n =maks {m,n}. Jadi, untuk setiap suku banyak f dan g di F[x] berlaku:
der (f + g)< maks {der (f),der(g)}.
2.kita punyai
Karena dan unsur tak nol di lapangan F.kita peroleh der (fg) = m+n = der (f) + der (g).
Terdapat definisi dimana suku banyak dikatakan tak tereduksi sebagai berikut:
Definisi:
Suku banyak pF[x]dengan der (p) >0 dikatakan tak tereduksi jika tidak terdapat suku banyak a dan b di F [x] yang berderajat positif yang memenuhi p=ab.
Menurut Definisi suku banyak berderajat 1 senantiasa tak tereduksi.Sukubanyak berderajat lebih besar dari 1 yang tidak memenuhi definisi di atas kita katakan tereduksi.
Untuk keperluan ini suku banyak fF[x] kita tuliskan juga dengan tanda f(x).
Definisi :
Misalkan f(x)F[x].Unsur αF disebut akar dari suku banyakf(x) jika f(α)=0.
Dari Definisi tersebut dapat kita katakana fakta berikut.
- Semua unsur α F adalah akar suku banyak nol.
- Suku banyak berderajat nol,yaitu suku banyak konstan yang bukan nol,tidak mempunyai akar.
- Sukubanyak berderajat 1 senantiasa mempunyai akar.`
LAPANGAN HASIL BAGI
Sifat 1 Relasi ̴padaDxD*suaturelasiekivalen.
Bukti
- Sifatrefleksif. Untukpasang (a,b) ЄDxD*senantiasaberlaku (a,b) ̴(a,b) karenaab=ab
- Sifatsimetri. Misalkan(a,b) dan (c,d) di DxD*memenuhi(a,b) ̴ (c,d). artinya ad=cb. Kita perolehcb=ab, atau(c,d)̴(a,b).
-
Sifattransitif. Misalkanpasang(a,b),(c,d)dan (e,f) di DxD*dengan(a,b) ̴ (c,d)dan(c,d)̴(e,f). kitapunya ad=cbdancf=ed. Hubunganinimemberikan fad=fcb=edb, karena D suatudaerah integral dan f ≠ 0. Selanjutnya, karena b ≠ 0 kitaperolehaf=eb, atau(a,b) ̴(e,f).
Dengandemikian, kitatelahtunjukkanbahwa ̴suaturelasiekivalen.
Definisi 1 Misalkan [a,b] dan[c,d]kelasekivalen di Q (D).
[a,b] + [c,d] = [ad+cb,bd]
[a,b][c,d] = [ac,bd].
Hubungandalamdefinisi di atasditentukanolehwakil (a,b) dan (c,d) berturut-turutdarikelasekivalen[a,b] dan [c,d]. definisitersebutbaik, jikatidakbergantungpadawakilklasekivalen. Untukitukitaketengahkansifatberikut.
Sifat 2 Misalkan[a,b] = [a',b']dan[c,d] = [c',d'].maka
(ad+cb,bd) = [a'd'+c'b',b'd'] ,
[ac,bd] =[a'c',b'd']
Bukti
Pasang (a,b) dan (a’,b’) mewakiliklasekivalen yang sama, artinya (a,b) ̴ (a’,b’ atauab’=a’b. jugakitapunyai (c,d) ̴ (c’,d’), atau cd’ = c’dkitaperoleh
(ad+cb)b’d’ = adb’d’ + cbb’d’ =a’bdd’+c’dbb’
= (a’d’ + c’b') bd.
Jadi (ad+cb,bd) ̴ (a’d’ +c’b',b’d'), atau[ad+cb,bd] = [a'd'+c'b',b'd']
Dengancara yang sejalankitaperoleh[ac,bd]=[a'c',b'd'].
Teorema 3 SistemQ(D),+,x) membentuksuatulapangan
BuktiI.TerhadapoperasitambahQ(D),+).
1a. sifatassosiatif.Misalkan [a,b], [c,d] dan [e,f] di Q(D). kitapunyai
([a,b]+[c,d])+[e,f] = [ad+cb,bd]+[e,f]
=[(ad+cb)f+e(bd),(bd)f]
=[a(df)+(cf+ed)b,b(df)]
=[a,b][cf+ed,df]
=[a,b]([c,d]+[e,f]).
1b. Sifatkomutatif.Misalkan [a,b] dan [c,d] di Q(D). kitapunyai
[a,b] + [c,d] = [ad + cb,bd]=[cb + da,db]
= [c,d]+[a,b].
1c. Unsur nol. Pandang klasekivalen [0,1] Є Q(D) danmisalkan [a,b] Є Q(D). kitapunyai
[a,b] + [0,1] = [a.1 + 0b,b1] = [a,b],dan
[0,1] + [a,b] = [0b + a1,1b] = [a,b].
Jadi, terdapat [0,1] Є Q(D) ,unsurnol, dengansifat
[a,b] + [0,1] = [0,1] + [a,b] = [a,b] untuksemua [a,b] Є Q(D)
1d. Unsurbalikan.Misalkan [a,b] Є Q(D)danpandangklasekivalen [-a,b] Є Q(D). kitapunyai
[a,b] + [-a,b] =[ab + (-a)b,b2] = [0,b2] = [0,1], dan
[-a,b] + [a,b] = [(-a)b + ab,b2] = [0,1]
Jadi, untuksetiap [a,b] Є Q(D)terdapat [-a,b] Є Q(D) yang memenuhi
[a,b] + [-a,b] = [-a,b] + [a,b] = [0,1],
Yaitu–[a,b] = [-a,b].
BuktiII. Terhadapoperasi kali (Q(D),X).
IIa.SifatAssosiatif diserahkan kepada pembaca
IIb.SifatKomutatif diserahkan kepada pembaca
IIc. Unsurkesatuan .pandang [1,1] Є Q(D), unsurkesatuan yang memenuhi
[a,b][1,1] = [1,1] [a,b] = [a,b]
Untuksemua [a,b] Є Q(D)
IId. unsurbalikan.Misalkan [a,b] Є Q(D) yang bukanunsurnol, yaitu [a,b] ≠ [0,1]. Hubungan yang terakhirinibenarjikadanhanyajika a≠0.Dengandemikan, kitapunyai [b,a] Є Q(D). selanjutnya, kitapunyai
[a,b][b,a] = [b,a][a,b] = [1,1], yaitu [a,b]-1 = [b,a].
BuktiIII Sifatdistributife.Misalkan [a,b],[c,d] dan [e,f] di Q(D). terhadapoperasitambahdanoperasi kali secarabersama-sama, kitapunyai
[a,b]([c,d]+[e,f]) = [a,b][cf+ed,df] = [a(cf+ed),b(df)]
= [a(cf+ed)b,b(df)b}
= [(ac)(bf)+(ae)(bd),(bd)(bf)]
= [ac,bd]+[ae,bf]
= [a,b][c,d]+[a,b][e,f]
Dengandemikian, telahkitatunjukkanbahwasisten (Q(D),+,x) membentuksuatulapangan
Sifat 4 pengaitanφ : a → [a,1] untuksemua aЄ D mendefinisikanhomorfismagelanggangφ: D →Q(D) yang bersifatsatu-satu.
BuktiMisalkan a dan b unsur di D, Pengaitanφ : a → [a,1]untuksemuaaЄDmendefinisikanφ: D →Q(D). kitapunyaihubunganberikut:
- φ (a+b) = [a+b,1] = [a,1] + [b,1] = φ (a) +φ (b)
- φ (ab) = [ab,1] = [a,1][b,1] = φ(a)φ(b)
-
φ(1) = [1,1], unsurkesatuan di Q(D)
Inimenunjukkanbahwapemetaanφ: D →Q(D)suatuhomorfismagelanggang.
Selanjutnya, misalkanunsuraЄDmemenuhiφ (a) = [0,1]. Kita peroleh [a,1] = [0,1] artinya (a,1) ̴ (0,1), atau a=0. Jadiφ: D→Q(D) suatuhomorfismagelanggang yang bersifatsatu-satu
Untuk contoh soal : -gelanggang dan ideal klik di www.parzan07.wordpress.com
-gelanggang komutatif klik di www.diansusanti09.wordpress.com
-suku banyak klik di www.tomodachi07.wordpress.com
-lapangan hasil bagi klik di www.laloemipa024.wordpress.com
NAMA KELOMPOK 11
- PARZAN (G1D007036)
- DIAN SUSANTI (G1D009016)
- DIAN ADITYA NUGRAHA (G1D007013)
- PRATOMO (G1D007037)
- LALU MASYHUDI (G1D007024)
maka
sehingga ab = 0
sehingga ba = 0
dan 
sehingga ab = ba= 0
atau 
.
.
, maka
dan ba = ca maka b = c.
, maka
maka n dikatakan karakteristik gelanggag R.
maka dikatakan berkarakteristik 0.
, 1 < r < n dan 1 , s < n
Komentarmu