Subgrup Normal dan Grup Kousien

Automorfisma

Isomorfisma ф : G→G, yaitu isomorfisma dari G ke dirinya sendiri disebut

automorfisma pada G.

Contoh : (R,+), ф : R→R, ф(x)=3x

(R⁺,·), ф : R⁺→ R⁺, ф(x)=x²

A(G) : himpunan semua automorfisma pada G

Operasi pada A(G)

× : A(G)×A(G)→A(G)

Definisi × : (α,β)→αβ ,α,β Є A(G)

Teorema :

A(G) terhadap komposisi, membentuk Grup

Bukti:

Terbukti bahwa A(G) terhadap komposisi, membentuk Grup.

Inner Automorfisma

untuk semua xЄG

disebut automorfisma dalam, selain itu disebut automorfisma luar

(outer automorfisma)

Akan ditunjukkan bahwa suatu automorfisma

Terbukti bahwa λa suatu isomorfisma, karena λa : G→G maka λa automorfisma

I(G) : himpunan semua automorfisma dalam pada G

I(G) subset A(G)

Akan ditunjukkan bahwa I(G) ≤ A(G)

Terbukti bahwa I(G) ≤ A(G), selanjutnya I(G) membentuk subgrup normal pada A(G).

Subgrup Normal

Definisi Subgrup Normal

Misalkan H adalah suatu Subgrup dari Grup G, maka Subgrup H dikatakan

Subgrup Normal dari G ( ditulis) bila untuk setiap .

Ekivalen dengan definisi di atas, H adalah Normal jika untuk setiap g elemen G,

yakni, jika Koset Kiri dan Kanan dari H sarna.

Catatan : Apabila G grup abelian, maka setiap subgrup dari G adalah subgrup normal.

Beberapa teorema yang berkaitan dengan definisi subgroup normal

Teorema 1

Misalkan H subgroup dari G, maka H disebut subgroup normal dari G ( ditulis)

jika dan hanya jika , untuk setiap g  € G

Bukti

misal g €G , karena H subgroup normal ( ditulis) by definisi

sehingga

ambil sebarang g € G karena , maka

.

Jadi terbukti H subgroup normal dari G.

Teorema 2

Misalkan H subgroup dari G, maka H disebut subgroup normal dari G

( ditulis) jika dan hanya jika untuk setiap a,b € G.

Bukti

misal H subgroup normal ( ditulis) dan a,b € G.

kita lihat perkalian dua koset kanan yaitu.

Karena H subgroup normal , berarti by definisi .

Maka.

misal g € G , kita pilih , jelas,

diperoleh. Karena H subgroup maka ,

sehingga dengan menggunaka hukum pembatalan kiri

pada Grup maka diperoleh,

sehingga by teorema terbukti bahwa H subgroup normal dari G ( ditulis).

Contoh soal

Misalkan (G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup dan H = {0, 2, 4}

adalah Subgrup dari G. Tunjukan bahwa H merupakan subgroup normal dari G

Penyelesaian :

Telebih dahulu akan ditunjukkan bahwa Koset Kiri dan Kanan dari H sama.

(G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, generatornya 0, 1, 2, 3, 4 dan 5

Koset kiri :

0 + H = 0 + {0, 2, 4} = {0, 2, 4}

1 + H = 1 + {0, 2, 4}= {1, 3, 5}

2 + H = 2 + {0, 2, 4}= {2, 4, 0}

3 + H = 3 + {0, 2, 4}= {3, 5, 1}

4 + H = 4 + {0, 2, 4} = {4, 0, 2}

5 + H = 5 + {0, 2, 4} = {5, 1, 3}

Koset kanan:

H + 0 = {0, 2, 4}+ 0 = {0, 2, 4}

H + 1 = {0, 2, 4}+ 1 = {1, 3, 5}

H + 2 = {0, 2, 4}+ 2 = {2, 4, 0}

H + 3 = {0, 2, 4}+ 3 = {3, 5, 1}

H + 4 = {0, 2, 4} + 4 = {4, 0, 2}

H + 5 = {0, 2, 4} + 5 = {5, 1, 3}

Sehingga :

0 + H = H + 0= {0, 2, 4}

1 + H = H + 1= {1, 3, 5}

2 + H = H + 2 = {2, 4, 0}

3 + H = H + 3 = {3, 5, 1}

H + 4 = H + 4 = {4, 0, 2}

H + 5 = H + 5 = {5, 1, 3}

Maka : koset kiri = koset kanan

sehingga : Subgrup dari H = {0,2,4} merupakan Subgrup Normal

untuk lebih jelasnya latihan soal lagi yuk!!! klik disini

Grup Faktor

Teorema : jika N subgrup normal dari G dan G/N={Na|aG}, maka G/N adalah suatu subgrup

terhadap operasi NaNb=Nab. Selanjutnya G/N disebut grup faktor dari G oleh N.

Bukti: Dari definisi operasi , untuk setiap koset Na dan Nb diG/N hasil operasinya, yaitu hasil kalinya,

kitatuliskan NaNb. Jadi NaNb=Nab.

1. Untuk setiap koset Na, Nb dan Nc di G/N berlaku
   

Na(NbNc)=Na(N(bc))=N(a(bc))=N((ab)c)=(N(ab))Nc=(NaNb)Nc

Jadi, berlaku sifat asosiatif

1. Terdapat koset N=Ne di G/N, dengan e unsur identitas di G, yang memenuhi
   

NaNe=N(ae)=Na dan NeNa=(N(ea)=Na

Untuk semua koset Na di G/N. Dengan demikian terdapat unsur identitas N=Ne elemen

G/N yang bersifat NaNe=NeNa untuk semua Na elemen G/N.

1. Untuk setiap koset Na di G/N terdapat koset N(a^-1)
   di G/N yang memenuhi
   

NaN(a^-1)=N(a a^-1)=Ne dan N(a^-1)Na=N(a^-1a)=Ne

Jadi setiap koset Na elemen G/N mempunyai balikan (Na)^-1=N(a^-1)

Dari 1,2 dan 3 kita simpulkan bahwa G/N membentuk grup.

Contoh: G={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan x mod 11 adlah grup normal. N={1, 10}

subgrup normal dari G. G/ N={N1,N2,N3,N4,N5}. Ingat bahwa

N1=N=N10, N2=N9={2,9}, N3=N8={3, 8}, N4=N7={4,7}, N5=N6{5,6}.

Tabel Cayley dari G/N tampak pada tabel di bawah.

Dengan memperhatikan tabel tersebut, maka kita dapat menunjukkan bahwa

G/N memenuhi semua aksioma dari grup.

Tabel Cayley: G/N={N1, N2, N3, N4, N5}

	N1	N2	N3	N4	N5
N1	N1	N2	N3	N4	N5
N2	N2	N4	N5	N3	N1
N3	N3	N5	N2	N1	N4
N4	N4	N3	N1	N5	N2
N5	N5	N1	N4	N2	N3

Teorema: jika G suatu grup berhingga dan N subgrup normal daari G, maka

Bukti: , banyaknya koset kanan dari N dalam G.

Menurut teorema langrange, karena G grup berhingga dan subgrup dari G, maka

maka

Grup Sederhana

Definisi :

Suatu grup G dikatakan sederhana
jika subgrup Normalnya hanyalah {e} dan G itu sendiri.

Dimana definisi dari subgroup normal yaitu

Definisi :

Diberikan grup G dan H subgrup dari G, subgrup H dikatakan normal jika berlaku

Grup sederhana berhingga (Finite simple Group), yaitu Grup sederhana yang banyak elemennya berhingga.

Grup sederhana berhingga memepunyai sifat-sifat yang serupa dengan Bilangan Prima.

Kita tahu bilangan Prima mempunyai sifat sebagai berikut:

1. Tidak bisa difaktorkan menjadi bilangan-bilangan yang lebih kecil
   
2. Setiap bilangan bulat yang lebih besar dari satu merupakan perkalian
   

   dari bilangan-bilangan prima yang berbeda.
   

Begitu pula dengan Grup sederhana berhingga yang memmpunyai sifat-sifat sebagai berikut

1. Tidak bisa dipecah menjadi grup-grup yang lebih kecil.
   
2. Setiap Grup berhingga berorder lebih dari 1 merupakan gabungan dari Grup-grup sederhana berhingga yang berbeda
   

Contoh :

apakah grup terhadap operasi perkalian merupakan grup sederhana??

Jawab:

Sesuai dengan definisi grup sederhana

” jika subgrup Normalnya hanyalah {e} dan G itu sendiri maka G dikatakan grup sederhana”

Pada kasus ini, grup terhadap operasi perkalian bukan grup sederhana karena tidak bisa

memenuhi syarat dari subgroup normal yaitu koset kiri tidak sama dengan koset kanan

Bukti

Misal A € dimana

A =

Adib :

Sesuai dengan matrik terbukti bahwa ( matrik tidak bersifat asosiatif terhadap operasi perkalian ).

Biar lebih mengerti klik disini untuk  melihat contoh-contoh soalnya

kalau belum jelas coba lagi klik disini

KELOMPOK 9

Donny sutrisna amijaya G1D009053

Mujamil hasan G1D009009

Agus kurniawan G1D009033

Helmina fitriani G1D007014