04
May
11

ISOMORFISMA

ISOMORFISMA

  • Definisi dan Sifat-sifat Dasar

Sekaranglah saat kita membuat lebih matematis ide bahwa dua grup G dan G’, dikatakan sama secara struktur atau isomorf. Sebelumnya kita telah diberikan “perasaan” bagaiman grup dan isomorf, yakni bila grup itu identik kecuali di nama elemen dan operasi. Kemudian kita bisa membuat dari hanya dengan menamai ulang elemen di . Ini seperti mengaitkan setiap dengan . Ini jelas bisa dilihat sebagai suatu fungsi dengan domainnya adalah . Bisa dilihat bahwa dua elemen berbeda x dan y memiliki peta yang berbeda dan , sehingga fungsi mestilah satu-satu. Dan juga setiap elemen di pasti memiliki prapeta di, sehingga pastilah bersifat pada. Dan terakhir, jika dua grup tadi punya struktur yang sama dan jika kita namakan operasi pada adalah  dan operasi pada adalah , maka harus punya peta atau bisa ditulis . Untuk selanjutnya notasi dan dihilangkan saja dan diganti dengan notasi perkalian, sehingga (xy)f = (xf) (yf).

Definisi

 Sebuah isomorfisma dari grup G ke grup G’ adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu pada dari ke dan untuk setiap x dan y di berlaku (xy)f = (xf) (yf)

Grup dan kemudian dikatakan isomorf, dan diberi notasi G –> G’

Teorema Jika f : G –> G’ suatu isomorfisma dari G ke G’ , dan e adalah identitas dari G maka ef identitas dari G’. Dan juga

a’f = (af)’ untuk semua a elemen G

Bukti. Misal x’ elemen G’ , karena  f pada maka terdapat x elemen G  sehingga xf = x’. Kemudian

x’ = xf = (ex)f = (ef) (xf) = (ef)x’

Dengan cara yang sama diperoleh


x’ = xf = (xe)f = (xf) (ef) = x'(ef)

Jadi untuk semua x’ elemen G kita dapatkan (ef)x’ = x’ = x'(ef)

Sehingga ef adalah identitas dari G’ Selanjutnya untuk a elemen G kita dapatkan

ef = (a’a)f = (a’f) (af)

Dengan cara sama diperoleh

ef = (aa’)f = (af) (a’f)

Akibatnya a’f = (af)’    .QED

  • Bagaimana Menunjukkan Dua Grup Isomorf

    Ada 4 langkah untuk menunjukkan dua buah grup isomorf, yaitu :

Langkah 1     Definisikan fungsi f yang akan memberikan suatu isomorfisma dari G ke G’.  Ini berarti kamu mesti mendeskripsikan (dengan cara tertentu) berupa apa xf di G untuk semua x di G’ .

Langkah 2     Tunjukkan f satu-satu

Langkah 3     Tunjukkan f pada

Langkah 4      Tunjukkan(xy)f = (xf) (yf)

  • Bagaimana Menunjukkan Dua Grup Tidak Isomorf

    Jika kita diminta untuk menunjukkan dua buah grup tidak isomorf, ini berarti tidak terdapat fungsi satu-satu pada f dari G  ke G’ dengan sifat (xy)f = (xf) (yf) . Secara umum tidak mungkin mudah mencari semua fungsi dan mengeceknya satu demi satu apakah memenuhi definisi isomorfisma atau tidak. Kasus yang paling mudah mungkin saat kita tidak menemukan fungsi yang satu-satu dari G ke G’ . Ini biasanya mudah kita cek saat grupnya berhingga dan kedua grup tidak sama jumlah anggotanya.

    Jikalau kalian berhasil menemukan pemetaanyang satu-satu dari G ke G’, tapi kalian disuruh membuktikan keduanya tidak isomorf (tentu keduanya memang tidak isomorf), maka kalian mesti menunjukkan salah satu grup memiliki suatu struktur yang mana grup satunya tidak memiliki struktur tersebut. Suatu struktur dari sebuah grup mesti dimiliki oleh grup lain yang isomorf dengannya. Itu harus tidak tergantung dari nama maupun hal-hal yang non struktur. Contoh-contoh berikut ini adalah nama yang dimaksud dengan struktur suatu grup dan nonstruktur dari suatu grup.

    Struktur dari suatu grup :

  1. Grup-nya siklik
  2. Grupnya komutatif
  3. Order grup sama

Tentu saja ketiga hal diatas baru beberapa, masih banyak lagi yang bisa disebut stuktur dari suatu grup.berkaitan dengan ini, kalian mesti mencoba membuktikan beberapa teorema tentang grup yang isomorf.

  • Teorema Cayley

    Lihat kembali sebarang tabel grup dalam buku ini setiap baris dari tabel memberikan sebuah permutasi dari himpunan yang elemen-elemennya berasla dari grup. Dari pengamatan sederhana ini jelas tidak aneh kalau sebarang grup hingga isomorf ke suatu subgrup dari grup SG (himpunan semua permutasi pada G). Hal yang sama juga benar untuk grup pasti isomorf terhadap drup yang terdiri permutasi dengan operasi perkalian permutasi.

    Ini adalah fakta yang menarik, walaupun kita tidak akan banyak menggunakannya untuk saat ini. Walaupun demikian teorema ini adalah teorema teori grup klasik yang muncul di hampir semua buku aljabar. Lebih lanjut ini adalah teorema pertama kita yang komplek, yang mana membutuhkan berbagai ide dan teknik yang telah kalian pelajari secara terpisah sebelumnya. Kalian harus tahu statement dari teorema ini.

    Teorema 8.3 (cayley) Setiap grup isomorf pada suatu grup permutasi

    Bukti dari teorema ini bisa kalian dapatkan di banyak buku, tapi hanya ditampilkan ide dari buktinya,berharap kalian busa mengerjakannya. Jadi jika G adalah  sebarang grup kemudian

    LANGKAH 1 Temukan himpunan G’ dari permutasi yang merupakan kandidat yang akan membentuk grup dan akan isomorf dengan G

    LANGKAH 2 Buktikan G’ adalah grup terhadap operasi perkalian permutasi.

    LANGKAH 3 Definisikan pemetaan dan tunjukkan bahwa suatu isomorfisma.

    Untuk melihat contoh teorema ini dapat dilihat di

http://gchayank.blogspot.com/2011/05/teorema-cayley.html

http://rhey27.wordpress.com/2011/05/07/contoh-soal-isomorfisma/

About these ads

1 Response to “ISOMORFISMA”


  1. April 24, 2013 at 11:06 pm

    We’re a gaggle of volunteers and opening a brand new scheme in our community. Your website offered us with useful information to work on. You’ve performed a formidable process and
    our entire community will probably be thankful to you.


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s


1_502554913l

Current CO2 Level in the Atmosphere

yang sudah mampir

  • 115,727 gamatika-ers

Kategori Tulisan

No Smoking

Lagi Online

Arsip

May 2011
M T W T F S S
« Apr   Jun »
 1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031  

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: