HOMOMORFISMA

Definisi homomorfisma :

Jika G suatu grup dengan operasi * dan G’ suatu grup dengan operasi # maka pemetaan  f : G → G’ disebut  homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap a, b ϵ G berlaku

f ( a * b ) = f(a) # f(b)

Definisi diatas juga dapat ditulis f (ab)= f(a) f(b), pada ruas kiri menggunakan operasi pada G dan pada ruas kanan menggunakan operasi pada G’ . Dari definisi tersebut, mungkin anda mengira bahwa homomorfisma sama dengan isomorfisma, namun pada kenyataannya tak selalu sama. Perbedaan antara homomorfisma dan isomorfisma dapat kita lihat dari contoh-contoh berikut ini :

*)         Misalkan G grup bilangan real dengan operasi penjumlahan pada bilangan -bilangan real, dan G’ grup bilangan real dengan  operasi penjumlahan pada bilangan – bilangan real.

Definisikan f : G → G’ , dengan f(x)=3a untuk setiap x ϵ G.

Perhatikan bahwa G dan G memiliki operasi biner yang berbeda.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ G berlaku f (ab)= f(a) f(b)

Tetapi hal ini tidaklah sulit dilakukan, karena

f(a+b) = 3(a+b) = 3a +3b = f(a)+f(b) = f(a)f(b)

Jadi, f suatu homomorfisma.

Kita peroleh juga bahwa f bukan fungsi dari G pada G’. karena 3a selalu bernilai positif untuk bilangan real x berapa pun, akan tetapi f satu-satu, karena jika x,yÎG sebarang sedemikian sehingga f(x) = 3x = 3y = f(y), maka x = y .

Homomorfisma yang besifat satu-satu disebut momorfisma.

*)         Misalkan :        G  grup bilangan real dengan operasi penjumlahan dan

G’  ={ 0,1, 2, ……, n-1} adalah grup dengan operasi  penjumlahan.

Definisikan f :  G →G’  , dengan f(a) =[a] untuk setiap a ϵ G.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ  G berlaku f (ab)= f(a) f(b), maka

f (a+b) = [a +b ] = [a] + [b] = f(a) f(b)

Jadi f suatu homrfisma.

Dapat kita lihat bahwa f merupakan fungsi pada dari Z pada _, karena setiap [a] ϵ G’ pasti mempunyai pra peta pada G .

Homomorfisma yang bersifat pada disebut epimorpisma

*)         Misalkan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan – bilangan real, dan G’ grup bilangan real dengan operasi penjumlahan pada bilangan -bilangan real.

Definisikan f : G →G’, dengan f(x) = ln x  untuk setiap x ϵ G.

Perhatikan bahwa G danG’ memiliki operasi biner yang berbeda.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ G. berlaku f (ab)= f(a) f(b), maka

f (ab)= ln ab= ln a + ln b = f (a) f (b)

Jadi f terbukti homomorfisma.

Jika f(x) = f(y) akibatnya ln x =ln y sehingga x=y. ini menunjukkan f adalah fungsi satu-satu.

Jika ln r ϵ G maka r ϵ G’ , kemudian f(r) = ln r. Sehingga f bersifat pada.

Karena  f  bersifat pada dan satu-satu maka f bersifar bijektif, akibatnya f  isomorfisma.

Cotoh 3 ini menunjukkan isomorfisma pasti homomorfisma tapi homomorfisma belum tentu isomorfisma.

Teorema :

Jika  f  suatu homomorfisma dari grup G ke  grup G’, maka :

(i)                 f (e) = e’, dimana e ϵ G dan e’ ϵ G’

(ii) untuk setiap a ϵ G

 

Bukti :

(i)     Misalkan f  suatu homomorfisma dari grup G ke grup G’, untuk setiap a ϵ G berlaku ae = a maka f (a) f(e ) = f (ae) = f (a) = f (a)e’

Akibatnya  f (a) f (e) = f (a) e’

Berdasarkan pembatalan kiri dan kanan maka f (e) = e’

(ii)  Untuk setiap a ϵ G berlaku maka sehingga

akibatnya

□

Teorema :

Jika f suatu homomorfisma dari grup G ke grup G’, maka daerah hasil dari f  yaitu f (G) untuk setiap a ϵ G adalah subgrup G’.

 

Bukti :

Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke grup G’,

maka daerah hasil dari f  yaitu  f (G) = { x ϵ G’ çx =f (a), a ϵ G}

misalkan f (G)=H, maka H Ì G’

karena f (e) = e’ maka e’ ϵ H

akibatnya H suatu kompeks dari G’.

Ambil sebarang x, y ϵ H maka ada a, b ϵ G sedemikian hingga f (a) = x dan f (b)= y

sehingga Karena a,b ϵ G dan G suatu grup maka 

sehingga jadi

Ini berarti H adalah subgrup dari G’.

□

Contoh:

Misalkan  Z grup bilangan real dengan operasi penjumlahan.

Definisikan f : Z → Z , dengan f(x) = 2a untuk setiap x ϵ Z.

Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,b ϵ Z_n berlaku f (ab)= f(a) f(b), maka

f (a+b) = 2 (a+b) =2a +2b = f(a) f(b)

Jadi f suatu homorfisma.

Dari definisi f(x) = 2a maka daerah hasil dari f = { 0, 2, 4, ………} = 2Z

2Z adalah subgrup dari Z.

KERNEL DARI HOMOMORFISMA

Definisi:          misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam f (Kf) adalah himpunan semua x ϵ G yang dipetakan olek  f  ke e’ dimana e’ meupakan unsur identitas dalam G’ atau Kf = { x ϵ G ç f(x) ϵ e’ }.

Contoh:           (Z,+) yaitu grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan.

Pemetaan f : Z → Z didefinisikan f(x)= mx untuk setiap x elemen G dan m suatu bilangan bulat, maka f  adalah suatu homomorfisma dan kernel dari (Z,+)  tersebut adalah {0}.

Teorema:

Misalkan f  homomorfisma dari grup G ke G’ dengan kernel K, maka K adalah subgrup normal dari G.

 

Bukti:

Pertama akan ditunjukkan bahwa K subgrup dari G.

misakan x,y ϵ K maka f(x)=e’ dan f(y)=e’

sehingga f(xy)= f(x) f(y)= e’ e’= e’ dimana xy ϵ K (sifat tertutup).

Selanjutnya

jadi

ϵ K (sifat invers).

Untuk menunjukkan sifat normal, ambil g ϵ G dan k ϵ K maka:

diperoleh

ϵ K sehingga K subgrup normal dari G.

□

HOMOMORFISM NATURAL

Setiap homomorfisma pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup factor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari domain homomorfisma ke grup  factor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisma baru yang disebut homomorfisma natural

Theorema :

Mislkan G suatu grup dan N adalah subgroup normal di G, di definisikan suatu pemetaan f  dari G ke grup factor G/N.

f : G → G/N dimana 

, untuk setiap x є G. maka f  adalah homomorfisma dari G yang bersifat pada.

Bukti :

Misal x,y є G sebarang

Maka  

Jadi, f  homomorfisma

Tunjukkan pada / surjektif

Ambil sebarang y є G/N

Maka

untuk suatu y є G

sdemikian hinga Jadi, homomorfisma f  pada

□

 

TEOREMA FUNDAMENTAL HOMOMORFISMA

Jika f suatu homorfisma dari grup G ke dalam grup G’  dengan kernel K,maka terdapat suatu isomorfisma dari G/K  ke dalam G’.

BUKTI

Misalkan f  fungsi dari G pada G’ dengan pengaitan f : G → G’ untuk setiap x ϵ G.,dan g fungsi G  ke dalam G/K  dengan pengaitan g : x → Kx untuk setiap x ϵ G dan kernel dari g adalah K.

Sekarang bangun fungsi h dari G/K  ke dalam G’  dengan pengitan h : Kx → f(x)  untuk setiap x ϵ G.

Perhatikan diagram berikut

Pengaitan f.g dan h digambarkan seperti gambar berikut

Akan ditunjukkan bahwa h adalah suatu homomorfisma dan satu-satu (isomorfisma) dari G/K  ke dalam G/K.

Pertma-tama kita akan menunjukkan bahwa h merupakan pemetaan,dalam arti kita akan menunjukkan bahwa pengaitan untuk h : Kx → f(x)  terdefinisi dengan baik (well defined).

SOAL

1)      Misalkan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan – bilangan real, dan G’ grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan – bilangan real.

Definisikan f : G → G’ , dengan f(x)=1/a untuk setiap x ϵ G.

morfisma dan tentukan kernelnya !

2)   Misalkan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan – bilangan real, dan G’ grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian ada bilangan – bilangan real.

Definisikan f : G → G’ , dengan 

untuk setiap x ϵ G.

Tunjukan f homorfisma dan tentukan kernelnya !

Untuk mengetahui jawaban 2 soal diatas silahkan klik disini http://ismiyusrina09.wordpress.com/2011/05/24/contoh-soal/#more-282

3) Misalkan G grup semua matriks real 2 x 2 yang berbentuk

sehingga ad ≠ 0, dengan operasi perkalian matriks-matriks.

Misalkan juga G’  grup bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian. Definisikan  f : G → G’ denganuntuk setiap ϵ G. Carilah kernel dari matriks tersebut !!     pada operasi jumlah.

Untuk mengetahui jawaban soal diatas silahkan klik disini http://ismiyusrina09.wordpress.com/2011/05/25/soal-junet/#more-296

4) Tunjukan bahwa f homomorfisma dan pada ! (contoh soal homomorfisma natural)

Untuk mengetahui jawaban soal diatas silahkan klik disini http://ismiyusrina09.wordpress.com/2011/05/25/soal-no-4/#more-303

4)      Tunjukkan bahwa sembarang grup siklik adalah isomorfisma baik terhadap integer Z atas penjumlahan,ataupun terhadap  intger atas penjumlahan modulo m ! (contoh soal teorema homomorfisma fundamental)

Untuk mengetahui jawaban soal diatas silahkan klik disini http://ismiyusrina09.wordpress.com/2011/05/25/teorema-fundamental-homomorfisma/#more-311

KELOMPOK 10 :

• FIPIT MELAWATI                         ( G1D 006 026 )
• RAJIATUL HIDAYAH                   ( G1D 007 040 )
• ISMI YUSRINA MUHTI                ( G1D 009 006 )
• MUHAMAD JUNAIDI                    ( G1D 009 034)

Subgrup Normal dan Grup Kousien

Automorfisma

Isomorfisma ф : G→G, yaitu isomorfisma dari G ke dirinya sendiri disebut

automorfisma pada G.

Contoh : (R,+), ф : R→R, ф(x)=3x

(R⁺,·), ф : R⁺→ R⁺, ф(x)=x²

A(G) : himpunan semua automorfisma pada G

Operasi pada A(G)

× : A(G)×A(G)→A(G)

Definisi × : (α,β)→αβ ,α,β Є A(G)

Teorema :

A(G) terhadap komposisi, membentuk Grup

Bukti:

Terbukti bahwa A(G) terhadap komposisi, membentuk Grup.

Inner Automorfisma

untuk semua xЄG

disebut automorfisma dalam, selain itu disebut automorfisma luar

(outer automorfisma)

Akan ditunjukkan bahwa suatu automorfisma

Terbukti bahwa λa suatu isomorfisma, karena λa : G→G maka λa automorfisma

I(G) : himpunan semua automorfisma dalam pada G

I(G) subset A(G)

Akan ditunjukkan bahwa I(G) ≤ A(G)

Terbukti bahwa I(G) ≤ A(G), selanjutnya I(G) membentuk subgrup normal pada A(G).

Subgrup Normal

Definisi Subgrup Normal

Misalkan H adalah suatu Subgrup dari Grup G, maka Subgrup H dikatakan

Subgrup Normal dari G ( ditulis) bila untuk setiap .

Ekivalen dengan definisi di atas, H adalah Normal jika untuk setiap g elemen G,

yakni, jika Koset Kiri dan Kanan dari H sarna.

Catatan : Apabila G grup abelian, maka setiap subgrup dari G adalah subgrup normal.

Beberapa teorema yang berkaitan dengan definisi subgroup normal

Teorema 1

Misalkan H subgroup dari G, maka H disebut subgroup normal dari G ( ditulis)

jika dan hanya jika , untuk setiap g  € G

Bukti

misal g €G , karena H subgroup normal ( ditulis) by definisi

sehingga

ambil sebarang g € G karena , maka

.

Jadi terbukti H subgroup normal dari G.

Teorema 2

Misalkan H subgroup dari G, maka H disebut subgroup normal dari G

( ditulis) jika dan hanya jika untuk setiap a,b € G.

Bukti

misal H subgroup normal ( ditulis) dan a,b € G.

kita lihat perkalian dua koset kanan yaitu.

Karena H subgroup normal , berarti by definisi .

Maka.

misal g € G , kita pilih , jelas,

diperoleh. Karena H subgroup maka ,

sehingga dengan menggunaka hukum pembatalan kiri

pada Grup maka diperoleh,

sehingga by teorema terbukti bahwa H subgroup normal dari G ( ditulis).

Contoh soal

Misalkan (G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup dan H = {0, 2, 4}

adalah Subgrup dari G. Tunjukan bahwa H merupakan subgroup normal dari G

Penyelesaian :

Telebih dahulu akan ditunjukkan bahwa Koset Kiri dan Kanan dari H sama.

(G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, generatornya 0, 1, 2, 3, 4 dan 5

Koset kiri :

0 + H = 0 + {0, 2, 4} = {0, 2, 4}

1 + H = 1 + {0, 2, 4}= {1, 3, 5}

2 + H = 2 + {0, 2, 4}= {2, 4, 0}

3 + H = 3 + {0, 2, 4}= {3, 5, 1}

4 + H = 4 + {0, 2, 4} = {4, 0, 2}

5 + H = 5 + {0, 2, 4} = {5, 1, 3}

Koset kanan:

H + 0 = {0, 2, 4}+ 0 = {0, 2, 4}

H + 1 = {0, 2, 4}+ 1 = {1, 3, 5}

H + 2 = {0, 2, 4}+ 2 = {2, 4, 0}

H + 3 = {0, 2, 4}+ 3 = {3, 5, 1}

H + 4 = {0, 2, 4} + 4 = {4, 0, 2}

H + 5 = {0, 2, 4} + 5 = {5, 1, 3}

Sehingga :

0 + H = H + 0= {0, 2, 4}

1 + H = H + 1= {1, 3, 5}

2 + H = H + 2 = {2, 4, 0}

3 + H = H + 3 = {3, 5, 1}

H + 4 = H + 4 = {4, 0, 2}

H + 5 = H + 5 = {5, 1, 3}

Maka : koset kiri = koset kanan

sehingga : Subgrup dari H = {0,2,4} merupakan Subgrup Normal

untuk lebih jelasnya latihan soal lagi yuk!!! klik disini

Grup Faktor

Teorema : jika N subgrup normal dari G dan G/N={Na|aG}, maka G/N adalah suatu subgrup

terhadap operasi NaNb=Nab. Selanjutnya G/N disebut grup faktor dari G oleh N.

Bukti: Dari definisi operasi , untuk setiap koset Na dan Nb diG/N hasil operasinya, yaitu hasil kalinya,

kitatuliskan NaNb. Jadi NaNb=Nab.

1. Untuk setiap koset Na, Nb dan Nc di G/N berlaku
   

Na(NbNc)=Na(N(bc))=N(a(bc))=N((ab)c)=(N(ab))Nc=(NaNb)Nc

Jadi, berlaku sifat asosiatif

1. Terdapat koset N=Ne di G/N, dengan e unsur identitas di G, yang memenuhi
   

NaNe=N(ae)=Na dan NeNa=(N(ea)=Na

Untuk semua koset Na di G/N. Dengan demikian terdapat unsur identitas N=Ne elemen

G/N yang bersifat NaNe=NeNa untuk semua Na elemen G/N.

1. Untuk setiap koset Na di G/N terdapat koset N(a^-1)
   di G/N yang memenuhi
   

NaN(a^-1)=N(a a^-1)=Ne dan N(a^-1)Na=N(a^-1a)=Ne

Jadi setiap koset Na elemen G/N mempunyai balikan (Na)^-1=N(a^-1)

Dari 1,2 dan 3 kita simpulkan bahwa G/N membentuk grup.

Contoh: G={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan x mod 11 adlah grup normal. N={1, 10}

subgrup normal dari G. G/ N={N1,N2,N3,N4,N5}. Ingat bahwa

N1=N=N10, N2=N9={2,9}, N3=N8={3, 8}, N4=N7={4,7}, N5=N6{5,6}.

Tabel Cayley dari G/N tampak pada tabel di bawah.

Dengan memperhatikan tabel tersebut, maka kita dapat menunjukkan bahwa

G/N memenuhi semua aksioma dari grup.

Tabel Cayley: G/N={N1, N2, N3, N4, N5}

	N1	N2	N3	N4	N5
N1	N1	N2	N3	N4	N5
N2	N2	N4	N5	N3	N1
N3	N3	N5	N2	N1	N4
N4	N4	N3	N1	N5	N2
N5	N5	N1	N4	N2	N3

Teorema: jika G suatu grup berhingga dan N subgrup normal daari G, maka

Bukti: , banyaknya koset kanan dari N dalam G.

Menurut teorema langrange, karena G grup berhingga dan subgrup dari G, maka

maka

Grup Sederhana

Definisi :

Suatu grup G dikatakan sederhana
jika subgrup Normalnya hanyalah {e} dan G itu sendiri.

Dimana definisi dari subgroup normal yaitu

Definisi :

Diberikan grup G dan H subgrup dari G, subgrup H dikatakan normal jika berlaku

Grup sederhana berhingga (Finite simple Group), yaitu Grup sederhana yang banyak elemennya berhingga.

Grup sederhana berhingga memepunyai sifat-sifat yang serupa dengan Bilangan Prima.

Kita tahu bilangan Prima mempunyai sifat sebagai berikut:

1. Tidak bisa difaktorkan menjadi bilangan-bilangan yang lebih kecil
   
2. Setiap bilangan bulat yang lebih besar dari satu merupakan perkalian
   

   dari bilangan-bilangan prima yang berbeda.
   

Begitu pula dengan Grup sederhana berhingga yang memmpunyai sifat-sifat sebagai berikut

1. Tidak bisa dipecah menjadi grup-grup yang lebih kecil.
   
2. Setiap Grup berhingga berorder lebih dari 1 merupakan gabungan dari Grup-grup sederhana berhingga yang berbeda
   

Contoh :

apakah grup terhadap operasi perkalian merupakan grup sederhana??

Jawab:

Sesuai dengan definisi grup sederhana

” jika subgrup Normalnya hanyalah {e} dan G itu sendiri maka G dikatakan grup sederhana”

Pada kasus ini, grup terhadap operasi perkalian bukan grup sederhana karena tidak bisa

memenuhi syarat dari subgroup normal yaitu koset kiri tidak sama dengan koset kanan

Bukti

Misal A € dimana

A =

Adib :

Sesuai dengan matrik terbukti bahwa ( matrik tidak bersifat asosiatif terhadap operasi perkalian ).

Biar lebih mengerti klik disini untuk  melihat contoh-contoh soalnya

kalau belum jelas coba lagi klik disini

KELOMPOK 9

Donny sutrisna amijaya G1D009053

Mujamil hasan G1D009009

Agus kurniawan G1D009033

Helmina fitriani G1D007014

MAGIC TABEL

Magic table adalah sebuah permainan matematika yang dapat memacu kita dalam mengasah otak dalam berfikir bagaimana cara untuk kita dapat mengisi table-table permainan yang ada dibawah ini dengan tepat dan benar.

Langkah-langkah :

1. Isi tabel dengan angka-angka pada baris pertama
2. Angka yang diisi pada tabel tergantung keinginan pemain
3. Jumlahkan angka-angka yang telah diisi pada baris pertama tersebut
4. Baris dan kolom pada tabel yang belum terisi, bisa diisi secara acak, tapi  jumlahnya harus sama dengan jumlah yang telah terisi sebelumnya, baik secara vertikal, horozontal maupun diagonal.

FILSAFAT BAHASA & LOGIKA MATEMATIKA

asih inget ga?

 atau

Atau pernah berpikir……

Mengapa Matematika ada?

Ya….. Matematika itu timbul dari pemikiran manusia yang terkadang saya sendiri merasa Matematika itu…..

Ada  dengan ketiadaannya.

Berhingga  dengan ketakberhinggaannya.

Sukar dengan kemudahnnya.

Indah dengan kekacauannya.

Dan masih banyak lagi pemikiran-pemikiran aneh tentang Matematika yang sering membuat saya terkesan sekaligus berpikir.

Nah……kegiatan berpikir tentang seluk-beluk suatu hal itu, dinamakan filsafat. Tapi menurut saya pribadi, filsafat itu merupakan cara kita berpikir terhadap sesuatu yang ingin kita pikirkan. Nah lho?

Dalam kemunculannya sebagai salah satu ilmu pengetahuan, tentunya Matematika tak lepas dari pemikiran orang-orang yang memikirkannya. Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa Matematika berawal dari filsafat, diikuti oleh logika yang mengaitkan segala sesuatu dalam akal pikiran manusia dan diekspresikan ke dalam suatu bahasa, yang kemudian kita kenal dengan bahasa Matematika yang terdiri dari symbol-simbol aneh yang memiliki arti tersendri untuk menghindari kerancuan di dalamnya. Sehingga lahirlah Matematika itu.

Filsafat

Kata filsafat berasal dari bahasa Yunani, yaitu philo yang artinya cinta dan sophia yang artinya kebijaksanaan, sehingga filsafat itu sendiri diartikan sebagai  cinta kebijaksanaan. Sedangkan menurut istilah, filsafat meruapakan disiplin ilmu yang memikirkan dunia metafisika atau di balik realitas yang ada, secara kritis dan tersistematis.

Dalam memahami Matematika, ada tiga aliran yang digunakan sebagai acuan berpikir, yaitu:

1. Formalisme

Formalis memandang Matematika sebagai suatu permainan formal yang tak bermakna (meaningless) dengan tulisan pada kertas, yang mengikuti aturan (Ernest, 1991). Pandangan ini dikemukakan oleh David Hilbert. Hal ini disederhanakan sebagai deretan permainan dengan rangkaian tanda –tanda lingistik, seperti huruf-huruf dalam alpabet Bahasa Inggris. Bilangan dua ditandai oleh beberapa tanda seperti 2  atau II, dan seterusnya.

Paradoks Banach-Tarski

Keanehan dalam matematika tidaklah sedikit. Dalam artikel ini diperkenalkan salah satu teori matematika yang menarik untuk kita ketahui. Teori ini berkaitan dengan salah satu objek dalam R³.

Bisa dibilang ini adalah yang paling mustahil, paling aneh, dan paling ajaib dalam matematika. Menurut Paradoks Banach-Tarski, kita bisa memecahkan bola padat menjadi kepingan- kepingan berhingga kemudian menyusun ulang kepingan-kepingan tsb dengan menggunakan rotasi, dan translasi menjadi 2 buah bola yang identik dengan sebelumnya. Perlu dipahami bahwa bola padat yang dimaksudkan disini adalah bola padat menurut pemahaman matematika yaitu himpunan titik-titik tak hingga yang didefinisikan sebagai

    

dengan r jari-jari bola.

 

Teori yang ditemukan oleh Stefan Banach dan Alfred Tarski ini melibatkan beberapa teori sebelumnya yaitu Translasi, rotasi, isometri, kongruen dan aksioma pilihan.

Paradox Banach-Tarski (PBT) dijelaskan dalam dua versi yaitu versi lemah dan versi kuat. Kedua versi ini memperlihatkan keanehan, dan keajaiban yang berbeda.

 

Versi Lemah

Proses PBT yang dijelaskan dalam versi ini mempertahankan: Bentuk, Ukuran, Kepadatan, dan Volume.

• Bentuk, artinya setelah proses PBT berlangsung bola padat yang dihasilkan sama seperti bola padat sebelumnya, tidak menjadi lonjong, gepeng atau setengah bola.
• Ukuran, artinya jika bola padat yang dipecah berjari-jari r, maka hasil PBT akan tetap berjari-jari r juga.
• Kepadatan, artinya untuk mendapatkan dua atau lebih bola padat yang memiliki ukuran dan bentuk yang sama dari susunan pecahan sebuah bola padat, tidak dilakukan peregangan, sehingga kepadatannya tetap.
• Volume, artinya tidak dilakukan penambahan material kepingan dari luar kepingan sebuah bola padat sebelumnya.

 

Untuk lebih jelasnya, perhatikan analogi berikut :

 

 

 

 

            

 

 

Secara formal, PBT Versi Lemah ini mengatakan,

Untuk sebarang bola padat dapat dipecahkan menjadi kepingan-kepingan berhingga dan isometri pada R³ sedemikian sehingga

    

 

Versi Kuat    

Disini PBT hanya mempertahankan: Bentuk,dan Kepadatan.

Untuk volume dan ukuran tidak dipertahankan, namun bukan berarti versi ini tidak lebih aneh dari versi kuat. Untuk penjelasan mempertahankan bentuk dan kepadatan sama dengan di atas. Analogi berikut akan membantu Anda untuk menjadi lebih yakin bahwa versi ini memang pantas dikatakan versi kuat.

 

 

(sebuah kelereng)

    
 

 

 

 

(Matahari)

 

Sangat mustahil bukan ?

Percaya atau tidak, didunia matematika itu sangat mungkin dengan menggunakan PBT versi ini.

 

Versi kuat PBT mengatakan,

Untuk sebarang dua bola padat A dan B dengan, maka dapat dipecah menjadi kepingan-kepingan berhingga dan sedemikian sehingga untuk setiap i dari 1 sampai n,A_i kongruen dengan B_i.

 

Perlu diketahui bahwa PBT ini tidak berlaku di R dan R². Dan beberapa literature mengatakan bahwa PBT akan dapat terjadi jika banyak kepingan tidak kurang dari 4 kepingan.

 

 

 

Nama        : Rody Wardanial

NIM        : G1D 008 041

 

KOSET

Hai-hai para bloger ^^

Kami dari kelompok 8 akan membahas materi KOSET

Sebelum kita memasuki definisi koset akan diperkenalkan definisi koset kanan

dan koset kiri. Akan diperjelas juga dengan memperlihatkan teorema-teorema

yang berhubungan dengan koset.

Cekidot !!

ISOMORFISMA

ISOMORFISMA

• Definisi dan Sifat-sifat Dasar
  

Sekaranglah saat kita membuat lebih matematis ide bahwa dua grup G dan G’, dikatakan sama secara struktur atau isomorf. Sebelumnya kita telah diberikan “perasaan” bagaiman grup dan isomorf, yakni bila grup itu identik kecuali di nama elemen dan operasi. Kemudian kita bisa membuat dari hanya dengan menamai ulang elemen di . Ini seperti mengaitkan setiap dengan . Ini jelas bisa dilihat sebagai suatu fungsi dengan domainnya adalah . Bisa dilihat bahwa dua elemen berbeda x dan y memiliki peta yang berbeda dan , sehingga fungsi mestilah satu-satu. Dan juga setiap elemen di pasti memiliki prapeta di, sehingga pastilah bersifat pada. Dan terakhir, jika dua grup tadi punya struktur yang sama dan jika kita namakan operasi pada adalah  dan operasi pada adalah , maka harus punya peta atau bisa ditulis . Untuk selanjutnya notasi dan dihilangkan saja dan diganti dengan notasi perkalian, sehingga (xy)f = (xf) (yf).

Mystery of golden Rasio

Matematika adalah sebuah keindahan, sebuah seni, sebuah keseimbangan. Matematika adalah bahasa universal yang akan ditemukan dan dapat dimengerti oleh semua mahluk beradab di jagat raya. Matematika pula yang pertama kali menyingkapkan sebuah rahasia besar yang dikandung alam semesta.

Apa persamaan yang dimiliki oleh piramida di Mesir, lukisan Mona Lisa karya Leonardo da Vinci, bunga matahari, bekicot, buah cemara dan jari-jemari Anda?

Jawaban atas pertanyaan ini tersembunyi pada sebuah deret angka yang ditemukan oleh matematikawan Italia, L. Pisano Fibonacci. Sifat angka-angka ini, yang dikenal sebagai angka-angka Fibonacci, adalah bahwa masing-masing angka dalam deret tersebut merupakan hasil penjumlahan dari dua angka sebelumnya.

Angka Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

Angka Fibonacci memiliki satu sifat menarik. Jika Anda membagi satu angka dalam deret tersebut dengan angka sebelumnya, akan Anda dapatkan sebuah angka hasil pembagian yang besarnya sangat mendekati satu sama lain. Nyatanya, angka ini bernilai tetap setelah angka ke-13 dalam deret tersebut. Angka ini dikenal sebagai “golden ratio” atau “rasio emas”.

Golden Rasio (Rasio Emas) = 1,618

 233 / 144 = 1,618

 377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Rasio Emas atau 1.618 biasa disebut Phi,,,

eits…

jangan salah sangka dulu, Phi disini