7.1 Sifat-sifat Dasar
Jika G suatu grup dan a Є G , maka H= {an | n Є ℤ} adalah subgrup dari G yang dinamakan subgroup siklik G yang dibangun oleh a.
Jika diberikan grup G dan elemen a Є G maka G= {an | n Є ℤ}, a dinamakan pembangun G dan grup G = <a>
dinamakan grup siklik.
Teorema 7.1
Semua grup siklik adalah grup komutatif
Bukti:
Misal G grup siklik dan a adalah pembangun G yakni G = <a>, G= {an | n Є ℤ}
Lemma 7.1 ( Algoritma Pembagian di )
Teorema 7.2
Subgrup dari suatu grup siklik juga siklik.
Bukti :
Misalkan G grup siklik dan pembangun G maka notasinya G = <a>
Ambil H sebarang subgroup dari G
Adit : H = <b>
siklik
Jika H = {e} maka H = <e> jelas by.definisi subgroup
Andaikan H = {e} maka an Є H, n Є ℤ
Ambil m Є ≧ ℕdimana m adalah bilangan asli terkecil,
Klaim b = am pembangun H, notasinya H = <b>
Misal, c Є H maka 
untuk 
dapat ditulis 
By Lemma 7.1 
maka,
Karena m bilangan asli terkecil, am Є H maka berdasarkan Lemma diatas 0 ≤ r < m , maka haruslah r = 0
By definisi subgroup maka b adalah pembangun H
7.2 Klasifikasi Grup Siklik
Misalkan G adalah grup siklis dengan pembangun a.
KASUS I.
G memiliki tak hingga elemen, sehingga order dari g adalah tak hingga. Klaim bahwa tidak ada dua bilangan asli k dan l sehingga memberikan elemen ak dan al yang sama dari G.
Andaikan ak = al dan asumsikan l > k maka 
dimana l – k < 0
Misalkan m adalah bilangan asli terkecil sehingga am = e Klaim bahwa G hanya terdiri dari elemen-elemen berikut 
. Misalkan an Є
G maka berdasarkan Lemma 7.1 kita dapatkan q dan r sehingga 
Kemudian 
Dimana 0 ≤ r < m ini berarti G hingga dan 
ini kontradiksi dengan asumsi untuk kasus I, akibatnya semua an berbeda untuk setiap n bilangan asli.
KASUS II.
G punya order hingga. Dalam kasus ini tidak semua bentuk pangkat positif dari pembangan G, misal a, berbeda, jadi untuk suatu k,h kita pasti mendapatkan ak = ah Meniru argument pada kasus 1, kita dapatkan bilangan asli terkecil m sehingga am = e akibatnya grup G hanya terdiri dari 
yang berbeda semuanya.
Definisi
Misalkan n bilangan bulat positif dan h, k sebarang bilangan bulat, sehingga h + k = nq + r untuk 0 ≤ r < n adalah JUMLAH MODULO n dari h & k.
Teorema 7.3
Himpunan {0, 1, 2, …, n-1} adalah grup siklik dari ℤn dengan operasi jumlah modulo.
Teorema 7.4
Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dibangun oleh a. Misalkan b Є G, dan misalkan b=as maka b membangun subgrup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, dimana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.
Bukti.
b membangun subgrup H. Kita akan tunjukkan bahwa jumlah elemen dari H memiliki elemen sebanyak pangkat terkecil b yang menghasilkan e. Sekarang kita punya b = as dan bm = e jika dan hanya jika (as)m = asm = e jika dan hanya jika n membagi ms. Jika d adalah bilangan yang membagi n dan s, maka pada ekspresi n = d(n/d), faktor d dari n akan membagi faktor s dari ms.
Tidak ada faktor prima dari n/d yang bisa digabungkan dengan d sehingga tetap membagi s, karena d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s. Sehingga n/d merupakan faktor dari m, jadi m terkecil yang bisa memenuhi adalah m = n/d.
Akibat 7.2
Jika a adalah pembangun dari subgrup siklik hingga G yang berorder n, maka pembangun yang lain dari G adalah ar dimana r dan n relativ prim, yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1.
KELOMPOK IV:
Qomaria Sinta Sari : G1D007038
Diah Meidatuzzahra : G1D008007
Hullaemi : G1D008019
Indah Ika Trian Putri : G1D009012
Dwi Made Synansari : G1D009008
Pesulap matematika yang terkenal di Indonesia saat ini adalah Joshua Sandy, yang lebih dikenal dengan nama Joe Sandy. Pria kelahiran Subang, 2 April 1973 ini adalah pemenang di ajang the Master part 2, yang merupakan ajang pencari bakat untuk para pesulap di Indonesia.
dari himpunan A dikatakan cycle berukuran n, jika terdapat 
Komentarmu